Понятие базиса.
Любая сколь угодно сложная логическая функция может быть записана структурной формулой в виде СКНФ или СДНФ. Каждая из этих форм в свою очередь образована с помощью логического сложения умножения и отрицания.
Поэтому совокупность указанных логических функций называется функционально полной системой или базисом. Это означает что из комбинации логических элементов И, ИЛИ, НЕ—взятых в достаточном количестве можно построить сколь угодно сложное цифровое устройство.
Базис из функций
логического +, ·,
принято
называть основным базисом.
Функционально полный набор И, ИЛИ, НЕ не минимален. С учетом формул де Моргана достаточно любой пары функций И, НЕ; ИЛИ, НЕ.
Существует так же функционально полная система содержащая единственную функцию И-НЕ либо ИЛИ-НЕ. Если с помощью набора, реализующих любую из этих функций, удастся получить функции И, ИЛИ, НЕ, то полнота такой системы доказана:
ИЛИ-НЕ
реализует
отрицание при х=0 или х=у
Реализуем схему И
И-НЕ
Операцию отрицания можно получить если х=1 или х=у тогда
Операцию И можно получить за счет последующего отрицания
Операцию ИЛИ можно получить перемножив инверсию
Совершенно очевидно, функционально полную систему можно образовать и с помощью более сложных логических функций.
Например: при построении цифровых устройств на интегральных микросхемах часто применяется базис И-ИЛИ-НЕ.
В случае когда для построения цифровых устройств достаточно иметь логические элементы только одного типа, то подобные базисы принято называть универсальными.
Элемент И-ИЛИ-НЕ реализует инверсию функции, представленной в ДНФ как:
Используя правило де Моргана получим:
Таким образом элемент И-ИЛИ-НЕ позволяет получить конъюктивную нормальную форму от инверсных значений входных сигналов.
Связующим звеном между реальным логическим элементом и его логической функцией служит полярность логики. Под полярностью логики понимают уровень сигнала (положительный или отрицательный, высокий или низкий), который принят в качестве сигнала истинности, т.е. уровня логической единицы.
Уровни электрического потенциала, принимаемые в качестве уровня логической единицы и логического нуля, не относятся к существенным характеристикам системы элементов, а выбираются разработчиком перед началом логического проектирования.
Так известные элементы ТТЛ и ДТЛ реализуют функцию И-НЕ только в том случае, когда в качестве уровня логической единицы принят более высокий потенциал. Однако если выбрать в качестве логической единицы низкий потенциал, то те же элементы будут реализовать логическую функцию ИЛИ-НЕ.
Более того, если в качестве логической единицы для сигналов на входе схемы и для сигналов на выходе схемы принять различный уровень, то элемент И-НЕ позволяет реализовывать И и ИЛИ.
Пример.
F=x·y
F=x+y
в ысокий низкий
В дальнейшем в качестве логической единицы везде принят высокий уровень (положительная логика).