Математические осноывы цифровой обработки сигналов.
Логические функции.
В современных устройствах обработки цифровой информации используются два класса переменных:
-- числа
-- логические переменные
Числа несут информацию о количественных характеристиках системы, над ними можно производить арифметические действия.
Логические переменные определяют состояние системы или принадлежность ее к определенному классу состояний. Логическая переменная может принимать одно из двух значений:
— истинна (1);
— ложь (0).
Числа и логические переменные связаны друг с другом при решении задач управления и обработки информации. При этом часто приходится учитывать несколько логических условий. Так, например, лифт можно привести в движение кнопкой вызова, если кабина пуста, двери кабины и шахты закрыты, отсутствуют вызовы с других этажей.
Таким образом, многие задачи управления приводят к анализу логических условий и выдаче логических команд.
Для того чтобы решать такие задачи, необходим специальный математический аппарат— алгебра логики, оперирующая логическими связями и зависимостями.
Аппаратурная реализация логических моделей и решение логических задач основаны на использовании логических элементов, которые могут иметь различный принцип действия и различную физическую природу:
—релейно-контактные;
—пневматические;
—электрические;
—криогенные.
В алгебре логики в качестве аргументов используют логические переменные, которые объединяются в логические функции с помощью операций сложения, умножения и отрицания (дизъюнкция, конъюнкция, отрицание). Эта функция может принимать только два значения:
«истинно»;
«ложно».
Для обозначения истинности или ложности высказывания используют символы 1 или 0.
Наиболее часто логическая функция задается с помощью таблицы. В строках таблицы записываются всевозможные наборы значений аргументов и указываются значения логической функции при каждом наборе. Эту таблицу принято называть таблицей истинности.
Так если рассмотреть функцию одного элемента F(x), то
X |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
F2—инверсия
Х
;
F3=X;
F4—не зависит от Х и равно 0.
Если имеем n аргументов, то на их основе может быть определено 2n комбинаций этих аргументов.
На базе этих 2n
различных
наборов аргументов может быть построено
22
логических
функций.
Так, например:
Зададим в виде таблицы все возможные функции 2-х переменных.
X1 |
X2 |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
F5 |
F6 |
F7 |
F8 |
F9 |
F10 |
F11 |
F12 |
F13 |
F14 |
F15 |
F16 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |