2º. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера.

Вывод кинематических уравнений Эйлера, данный в п.1º, позволяет сформулировать общую схему построения кинематических уравнений, связывающих вектор угловой скорости с любыми другими углами ориентации и их производными по времени.

Общая схема построения этих уравнений такова.

1. В соответствии с заданной последовательностью поворотов вокруг координатных осей при вводе углов ориентации определяется последовательность угловых скоростей -ой системы координат относительно ( )-ой системы.

Вектор вычисляется по формуле

= ,

где — орт той оси, номер которой указывается в схеме на этапе ввода угла . Эта ось является общей для систем с номером и . Вокруг нее осуществляется поворот на угол при построении -ой системы координат.

Таким образом, в кинематической схеме вместе с углами ориентации

указываются вектора = , где — орт той оси, номер которой задан в схеме.

2. Применяется теорема о сложении угловых скоростей, и для вектора угловой скорости твердого тела записывается равенство

= = .

Оно рассматривается как векторное кинематическое уравнение, связывающее проекции вектора на оси выбранной системы отсчета с введенными углами ориентации и их производными.

Уравнение можно проектировать на связанные оси (или любые другие) и получать явную зависимость проекций вектора на выбранные оси от углов ориентации и их производных.

Покажем реализацию данного алгоритма построения кинематических уравнений на примере самолетных углов.

Для самолетных углов схема их ввода такова:

= , = , = .

Эта схема дополнена указанием угловых скоростей элементарных вращений. В ней = + . Тогда по теореме сложения угловых скоростей записываем векторное кинематическое уравнение

= + + . (3)

Проектируем векторное уравнение (3) на связанные оси. Умножим его последовательно скалярно на орты ,  ,  и учтем следующие соотношения, полученные при построении матрицы ориентации через самолетные углы:

( , , ( , ,

( , , ( , ,

( , , ( , .

В результате придем к трем скалярным уравнениям

= + , = + , = + .

Отсюда, разрешая относительно производных ,  ,  , находим кинематические уравнения для самолетных углов:

= , = + , = - .

§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона.

1º. Задача Дарбу.

В правые части кинематических уравнений, построенных в §4, входят функции ,  ,  , являющиеся проекциями вектора мгновенной угловой скорости на связанные с твердым телом оси. Если ,  ,  известны как функции времени, то кинематическая система уравнений становится замкнутой.

Поставим следующую задачу — определить ориентацию твердого тела, если известна его мгновенная угловая скорость в любой момент времени. Эта задача называется задачей Дарбу.

При известных начальных значениях углов ориентации решение задачи Дарбу сводится к построению решения задачи Коши для кинематических дифференциальных уравнений Эйлера, указанных в §4. Однако эти уравнения обладают следующими недостатками.

Во-первых, они являются нелинейными уравнениями относительно углов ориентации, что само по себе уже приводит к определенным трудностям их интегрирования.

Во-вторых, правые части уравнений имеют особенности; при некоторых значениях углов ориентации они не определены и, тем самым, эти значения углов являются критическими для данных кинематических уравнений. Следовательно, если твердое тело совершает одно из движений, на которых углы ориентации принимают критические значения хотя бы в один момент времени, то такое движение не будет решением данных уравнений. В связи с этим, для построения таких движений необходимо перейти к описанию ориентации твердого тела другими угловыми параметрами. А именно, перейти к описанию движений теми углами, критические значения которых отличаются от критических значений прежних углов ориентации. Затем построить соответствующие кинематические уравнения для новых углов и решать задачу Дарбу с использованием выведенных для них уравнений.

Такой процесс определения ориентации твердого тела по известной угловой скорости неизбежен при выборе в качестве расчетных любых углов ориентации (будут ли это углы Эйлера или самолетные, и т.д.), поскольку критические значения существуют для любых углов ориентации.

Ниже (в п.3º) показано, как избежать указанных трудностей в построении решения задачи Дарбу.