- •Часть 1. Кинематика
- •Глава 1. Кинематика точки.
- •§1. Векторный и координатный способы задания движения точки.
- •1º. Векторный способ задания движения точки.
- •1.1. Описание векторного способа задания движения.
- •1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании
- •1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения.
- •2º. Координатный способ задания движения точки.
- •2.1. Описание координатного способа задания движения.
- •2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе задания движения.
- •2.3. Связь векторного и координатного способов.
- •§2. Естественный способ задания движения точки.
- •2º. Основные определения из дифференциальной геометрии.
- •2.1. Способы задания кривой.
- •2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии.
- •3º. Описание естественного способа задания движения.
- •4º. Вычисление скорости и ускорения при естественном способе задания движения.
- •5º. Кинематический способ вычисления кривизны кривой.
- •Алгоритм построения радиуса кривизны кривой.
- •§3. Круговое движение точки.
- •1º. Координатный способ задания кругового движения.
- •2º. Векторный способ задания кругового движения.
- •3º. Естественный способ задания кругового движения точки .
- •4º. Скорость и ускорение точки в круговом движении.
- •§4. Задание движения точки в полярных координатах.
- •1º. Понятие полярной системы координат.
- •2º. Задание движения в полярных координатах.
- •3º. Скорость точки в полярных координатах.
- •4º. Ускорение точки в полярных координатах.
Часть 1. Кинематика
Глава 1. Кинематика точки.
§1. Векторный и координатный способы задания движения точки.
Как отмечалось во введении, кинематика решает задачу построения способов задания и описания движений и способов вычисления их кинематических характеристик. Решение данной задачи не связывается с причинами, по которым возникают движения. А потому в кинематике не делается различий между материальной и геометрической точкой. При этом, как было отмечено в п.1º §4 Введения, под положением материальной точки относительно заданной точки отсчета в фиксированный момент времени понимается положение той геометрической точки в евклидовом пространстве, с которой материальная точка совпадает в указанный момент времени.
Движением материальной точки, согласно определению 3 из п.3º (§4 Введения), называется дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция , значения которой в каждый момент времени соответствует положению материальной точки.
1º. Векторный способ задания движения точки.
1.1. Описание векторного способа задания движения.
Из определения 3 (п.3º §4 Введения) вытекает, что для того, чтобы задать движение материальной точки, необходимо:
выбрать точку отсчета (обозначим ее ),
задать вектор-функцию на том промежутке времени, где хотим знать о движении, причем вектор-функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по ,
задать положение точки в момент времени относительно точки отсчета равенством
= , (1)
где — радиус-вектор той геометрической точки абсолютного пространства, с которой в момент времени по своему положению совпадает материальная точка .
Таким образом, на равенство (1) можем смотреть, как на способ задания движения материальной точки. Такой способ называется векторным заданием движения точки.
1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании
движения.
Из (1) согласно определениям скорости и ускорения вытекает, что скорость и ускорение точки при известном ее движении вычисляются по формулам
, . (2)
Заметим, что векторы и , задаваемые формулами (2), имеют своим началом геометрическую точку , которая служит концом радиус-вектора , устанавливающего положение материальной точки в момент времени .
Действительно, в соответствии с определением
.
Так как = — это положение материальной точки в момент , = — это положение материальной точки в момент , то
= - = - = .
Вектор — это радиус-вектор материальной точки , задающий ее положение в момент времени относительно ее же положения в момент , ибо имеет своим началом точку , являющуюся положением материальной точки в момент времени .
При материальная точка будет изменять свое положение. Оно задается геометрическими точками . Геометрическая точка , в которой находится материальная точка в момент времени , не зависит от и поэтому при всех будет неизменной. Следовательно, предельный вектор будет совпадать с вектором , начало которого совпадает с геометрической точкой . Иначе говоря, вектор материальной точки связан с концом радиус-вектора , т.е. с самой точкой и ее положением в момент времени .
Аналогичное заключение делаем относительно вектора .