- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
- •2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
- •4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
- •5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
- •6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
Определение 1.
Криволинейными или, иначе, обобщенными координатами материальной точки будем называть три независимые величины , , , которые обладают следующими свойствами.
Для любых значений , , из некоторой области трехмерного пространства переменных , , определена однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция , такая, что ее векторное значение
= (1)
задает положение материальной точки в абсолютном пространстве при .
Для любого положения материальной точки в абсолютном пространстве можно поставить в соответствие одно и только одно значение переменных , , .
При любых значениях , , из области смешанное произведение векторов , , не равно нулю, т.е.
, , . (2)
Если задана система отсчета , то в скалярной форме соотношение (1) можно записать в виде
= , = , = . (3)
Из сформулированных выше свойств вытекает, что
функции , , однозначны и дважды непрерывно дифференцируемы;
система (3) разрешима относительно обобщенных координат , , , так что
= , = , = .
Разрешимость следует из теоремы о неявной функции, поскольку якобиан правой части системы (3) отличен от нуля при всех из области . Действительно, матрица Якоби для системы (3) имеет вид:
.
Ее определитель совпадает с левой частью неравенства (2). А потому . Данное неравенство выполняется в любой точке из области . Поэтому из определения 1 обобщенных координат , , следует, что справедливы условия теоремы о неявных функциях для системы уравнений (3), а из самой теоремы вытекает существование решений , , этой системы.
Замечания.
1. На практике иногда удается указать переменные , , , которые удовлетворяют описанным условиям не для любой точки абсолютного пространства, а лишь для некоторого множества из него. Если по предварительным прогнозам из каких-либо соображений известно, что на изучаемых моделях движения материальная точка не покинет указанное множество, то переменные , , могут быть приняты за обобщенные координаты для описания и исследования таких движений.
2. Если отсутствуют криволинейные координаты , , , для которых справедливы сформулированные выше свойства во всем абсолютном пространстве, то можно вводить криволинейные координаты , , для части пространства, в которой эти условия выполняются.
Для оставшейся части пространства можно подобрать другие переменные , , так, чтобы для них выполнялись указанные условия. Причем новые переменные , , вводятся так, чтобы не нарушались условия из определения криволинейных координат и в некоторой части пространства, где они справедливы и для переменных , , .
Общая часть пространства для переменных , , и , , позволяет при изучении движений осуществлять переход от криволинейных координат , , к криволинейным координатам , , , как только материальная точка окажется в этой общей части пространства.
Пример 1. Цилиндрическая система координат.
( )
( )
( )
Рис. 1.
Положение точки задается переменными , , (см. рис.1), где — расстояние от полюса до проекции точки на плоскость ; ; — угол в плоскости , отсчитываемый от положительного направления оси до луча ( — это проекция точки на плоскость ); ; положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки; — проекция радиус-вектора точки на ось ; ( , — проекция точки на ось ); .
Связь декартовых прямоугольных координат , , точки с цилиндрическими задается следующими формулами:
= , = , = .
Обратная зависимость , , от , , , т.е. связь цилиндрических координат с декартовыми, имеет вид:
= , , = .
Если , то аналогичным образом можно ввести цилиндрические координаты , , по отношению к системе координат , у которой, например, полюс смещен вдоль оси , ось совпадает с осью , а оси и коллинеарны осям и .
В тех случаях, когда движения точки могут приводить ее на ось , следует переходить к описанию этих движений в переменных , , .
Пример 2. Сферическая система координат.
Положение точки задается криволинейными координатами , , (см. рис.2). Они имеют следующий геометрический смысл.
Координата обозначает расстояние от полюса декартовой прямоугольной системы координат до точки . Она может принимать значения .
Координата обозначает угол в плоскости , отсчитываемый от положительного направления оси до проекции вектора на плоскость . Она может изменяться в диапазоне . Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки относительно орта .
Рис. 2.
Координата определяется значением угла между плоскостью и радиус-вектором точки . Угол отсчитывается от плоскости до радиус-вектора и может изменяться в диапазоне . Он принимает значение , если точка находится на положительной полуоси ; , если находится на отрицательной полуоси , и , если находится в плоскости .
Угол положителен, если точка принадлежит положительному полупространству относительно плоскости ; угол отрицателен, если находится в отрицательном полупространстве относительно плоскости .
На рисунке 2 точка обозначает ортогональную проекцию точки на плоскость , а — ортогональную проекцию точки на ось .
Связь декартовых прямоугольных координат , , точки со сферическими задается формулами:
, , .
Обратная зависимость, т.е. связь сферических координат с декартовыми, имеет вид:
, , .
Угол не определен, если точка находится на оси . Угол не определен, если точка совпадает с точкой отсчета .