- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
- •2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
- •4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
- •5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
- •6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
Ковариантные координаты вектора.
Пусть — произвольный вектор; , , — базис основной системы координат; , — матрица метрических коэффициентов этой системы, ; , , — координаты вектора в основной системе. Как отмечено выше, они называются контравариантными координатами вектора . Введем следующее понятие.
Определение 8.
Ковариантными координатами вектора называются величины , определяемые по формуле:
, .
Геометрический смысл ковариантных координат вектора следующий:
если вектора , , являются ортами, то — это ортогональные проекции вектора на координатные оси основной системы координат,
если вектора , , не являются ортами, то — это ортогональные проекции вектора на указанные оси, умноженные на , где = .
Введем следующие три вектора , , :
( ), ( ), ( ) (15)
и изучим их свойства. В (15) буквой обозначена величина смешанного произведения векторов , , :
. (16)
Как показано в п.5º, в этих обозначениях будем иметь .
Свойство 1.
Справедлива формула
(17)
для всех .
Докажем утверждение для =1. При =1 в силу (16) имеем:
( , ) ( , ) ( , , ) .
При =2,3 можем записать
( , ) ( , , ) .
Данное равенство выполняется, поскольку в нем = либо = , а смешанные произведения и равны нулю. Для справедливость свойства 2 доказывается аналогично.
Свойство 2.
Векторы , , линейно независимы, и для смешанного произведения этих векторов справедлива формула
( , , ) . (18)
Для доказательства утверждения вычислим сначала векторное произведение векторов и :
= ( ) .
В данной записи воспользовались третьей формулой в соотношениях (15) и формулой двойного векторного произведения.
Согласно (17) имеем и . Поэтому окончательно находим
. (19)
Подставляя (19) в смешанное произведение векторов , , и учитывая (17) для , получим
.
Что и требовалось доказать.
Введем косоугольную аффинную систему координат с полюсом в точке и базисными векторами, совпадающими с , , .
Эта система координат называется союзной по отношению к исходной, т.е. основной, системе координат с базисом , , и полюсом в точке .
Матрицу метрических коэффициентов союзной системы будем обозначать , а элементы этой матрицы — , . Так что будем иметь:
, , = .
Пусть , , — координаты вектора в союзной системе координат, и , , — координаты этого вектора в основной системе координат, т.е. его контравариантные координаты.
Покажем, что координаты вектора в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула
= , . (20)
Действительно, по определению координат вектора в союзной системе можем записать
= .
Умножая это равенство скалярно на , слева (по определению ковариантных координат вектора ) будем иметь
,
где — -я ковариантная координата вектора .
Учитывая (17), справа получим
.
Таким образом, равенства (20) доказаны.
Установим связь между матрицами и . А именно, докажем справедливость соотношения
= . (21)
Действительно, для любого вектора можем записать
= = . (22)
Умножая (22) последовательно (для ) скалярно на , получим
= , .
Эта система в матричном представлении имеет вид:
. (23)
Умножая (22) последовательно (для ) скалярно на , находим
+ + = , .
Соответственно, в матричном представлении:
= .
Подставляя в левую часть соотношение (23), придем к системе
,
где — единичная матрица размерности . В силу произвольности вектора получаем
.
Отсюда следует справедливость соотношения (21).
Докажем следующее утверждение.
Если по заданной исходной основной системе координат построить союзную систему, а затем построенную союзную систему взять в качестве новой основной и построить союзную к ней систему, то эта последняя союзная система будет совпадать с исходной основной системой координат.
Коротко это утверждение формулируется так:
«Союзная система к союзной совпадает с основной».
Утверждение будет доказано, если покажем, что
= ( ) , = ( ) , = ( ) ,
где .
Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).
Выше было установлено (см. (19)) . Кроме того, из (18) (свойство 2) имеем . Поэтому для можем записать
= ( ) = ,
что и требовалось доказать.
Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает с основной. В этом случае ковариантные координаты вектора (величины ) совпадают с соответствующими контравариантными координатами (величинами ).
Примечание 1.
Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты.
Выше доказали формулу (23):
,
где , , — координаты вектора в союзной системе, , , — координаты этого же вектора в основной системе, — матрица метрических коэффициентов основной системы.
Из (23) заключаем, что имеет второй смысл. Она является матрицей перехода от основной к союзной системе координат.
Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида
, (24)
где — координаты вектора в «новой системе» координат, , , — координаты вектора в заданной (фиксированной, «старой») системе, — неособая матрица, называемая матрицей перехода от «старой» системы к «новой» системе координат.
Фиксируем неособую матрицу . Будем говорить, что координаты любого вектора согласованно изменяются по отношению к его координатам , , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (24).
Определение 9.
Система координат, для которой является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу .
Из (23) следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу метрических коэффициентов основной системы. Поэтому координаты векторов в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»). Они согласованно изменяются через матрицу .
Основные координаты вектора могут быть вычислены через согласованные координаты (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице по формуле
, (25)
Очевидно, матрица является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.
В этом случае выражение (25) можем трактовать как обратный закон пересчета координат, а координаты вектора в основной («старой») системе могут рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной матрице по отношению к новым координатам.
Поэтому координаты вектора в основной системе (координаты ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при переводе с французского слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).
Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл. А именно, он означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат. Если матрица задана, то согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу .
Применим это правило к основной и союзной системам координат.
Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной матрицы . А тогда согласно указанному выше правилу координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу .