- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
- •2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
- •4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
- •5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
- •6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
Контравариантные координаты.
Зафиксируем точку с криволинейными координатами , , . Введем следующую аффинную систему координат.
Начало ее совпадает с точкой . Первая координатная ось совпадает с касательной в точке к первой координатной линии. Вторая координатная ось совпадает с касательной в точке ко второй координатной линии. Третья координатная ось совпадает с касательной в точке к третьей координатной линии (см. рис. 3).
На рисунке 3 координатная ось с номером обозначена , . Координатная линия с номером обозначена . Координатная поверхность с номером обозначена . Координатные линии выделены жирным цветом.
Так как — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция будет также дважды непрерывно дифференцируемой по . Аналогичное утверждение справедливо для функции относительно и для функции относительно . Поэтому касательные к координатным линиям в точке существуют.
Рис. 3.
Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам
, , .
Здесь выражение означает, что вектор вычислен в точке с координатами , , .
В силу условия (2) векторы , , в точке будут некомпланарны. Обозначим орты этих векторов , . Тогда
= , , (5)
где = = .
Очевидно, вектор указывает направление изменения положения точки относительно точки при возрастании координаты .
Определение 3.
Величина называется коэффициентом Ламе, соответствующим криволинейной координате .
Тройка единичных векторов , построенная по формуле (5) по криволинейным координатам , , точки , является линейно независимой. Поэтому можно принять ее в качестве базиса аффинной системы координат с полюсом в точке . Будем обозначать такую систему .
Определение 4.
Аффинную систему координат с базисом будем называть основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам , , , а координаты произвольной точки в этой системе — контравариантными координатами точки .
Из определения 1 (криволинейных координат), формулы (5) и определения 4 (основной системы) следует, что основная система координат существует в любой в точке . Положение ее полюса относительно точки отсчета в абсолютном пространстве и базис однозначно определяются по формулам (1) и (5) при любых фиксированных значениях , , криволинейных координат , , из области .
Обозначим = радиус-вектор точки относительно точки . Его связь с контравариантными координатами задается разложением по векторам :
= .
Связь произвольных положений точки относительно точек отсчета и определяется соотношением
= + = + .
В нем и обозначают положения относительно точки отсчета точек и , соответственно, а = — положение точки относительно точки отсчета .
Пусть и — криволинейные координаты точек и , соответственно. Тогда согласно (1) вектора и определяются равенствами = и = , и указанную связь можем переписать в следующей форме
= + . (6)
Равенство (6) определяет в неявном виде зависимость обобщенных координат , , точки от ее контравариантных координат и от криволинейных координат точки , в которой построена соответствующая основная система .
Из формулы (6) легко получить также связь декартовых координат , , с контравариантными координатами , , . Действительно, в (6) базисные вектора основной системы вычисляются через криволинейные координаты , , точки , соответственно, по формулам
= , = , .
Поэтому, проектируя (6) на оси , , , получим искомую связь:
= + + + = + ,
= + + + = + , (7)
= + + + = + ,
где = , = , = , , вычисляются в точке , , , — декартовые координаты точки , , , — декартовые координаты точки .
В матричном виде соотношения (7) запишутся так:
= + , (8)
где = .
Матрица называется матрицей перехода от основной системы координат к декартовой прямоугольной системе .
Ее элементы вычисляются через криволинейные координаты , , точки . Столбцы матрицы состоят из направляющих косинусов векторов относительно осей системы .
Из (8) находим обратную зависимость , , от , , :
= .
Матрица называется матрицей перехода от системы к основной системе .
Установим теперь связь матрицы метрических коэффициентов , , основной системы координат с криволинейными координатами , , . Поскольку = , то, подставляя (5), находим
= = , .
Очевидно, при , так как . Поэтому в общем случае основная система координат, построенная в любой точке , является косоугольной.
Легко видеть, что через матрицу матрица может быть представлена произведением
= .
Отсюда следует, в частности, что , где обозначает смешанное произведение векторов .