- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
- •2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
- •4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
- •5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
- •6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
Как отметили в §5, формулы связи декартовых и сферических координат имеют вид:
= , = , = , = .
Полагаем
= , = , = .
1. Вычислим базис криволинейной аффинной системы координат
= , .
Коэффициенты Ламе будут выражаться через криволинейные координаты , , по формулам:
; ;
.
А тогда = = = + + ,
= = =- + = ,
= = =- - + = .
2. Легко показать, что ( , ) , =1, , , т.е. сферическая система координат — ортогональная.
3. Вычислим скорость в проекциях на орты , , , т.е. вычислим ковариантные координаты , , скорости . Поскольку сферическая система координат ортогональная, то
= = = = , = = = = , = = = = .
= = = ,
Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы в системе :
( + + , ,
,
.
4. Вычислим ускорение в проекциях на орты , , , используя формулу Лагранжа. Для этого построим :
= .
Тогда = , = . Отсюда, применяя формулу Лагранжа, находим
= = = - = . (1)
Аналогично для получаем = , ,
.(2)
В свою очередь для будем иметь = , = ,
= = = - = + + . (3)
Подстановкой (1),(2),(3) в формулу = = можем выписать выражение для модуля ускорения .
Подстановка , , , в соотношения
= ( - - ),
= ( + - ),
= ( + )
дает формулы связи направляющих косинусов вектора в системе с криволинейными координатами , , , обобщенными скоростями , , и обобщенными ускорениями , , .