- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
- •2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
- •4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
- •5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
- •6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
Определение 5.
Если , , взаимно ортогональны, то основная система координат называется ортогональной.
Определение 6.
Если основная система координат ортогональна при любых значениях , , из области , то криволинейные координаты , , называются ортогональными.
Справедливо следующее утверждение.
Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых , , из области выполняются условия
, , . (9)
Утверждение очевидно.
Следует отметить, что условия (9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат , , из области . Иначе говоря, равенства (9) должны быть справедливы в любом положении точки . Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.
Но данное требование равносильно тому, что соотношения (9) должны выполняться в любой точке , имеющей координаты .
Поэтому при вычислении векторов и по формулам (5) можно заменить в (5) координаты , , точки на координаты , , точки .
Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении аргументов , , при вычислении производных от вектор-функции в формулах (6) и требовать от равенств (9), чтобы они выполнялись при любых значениях .
С учетом сказанного условия (9) в скалярной форме примут вид:
, , , при .
К ним следует присоединить условие (2) некомпланарности векторов , , :
,
причем:
если тройка векторов , , правая, то
, , ,
если тройка векторов , , левая, то
, , .
6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
Определение 7.
Дифференциал вектор-функции , вычисленный в точке , называется линейным перемещением точки из положения .
Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате , а дифференциал — линейным перемещением точки по контравариантной координате .
Согласно определению дифференциала вектор-функции , имеем
= . (10)
Здесь — линейное перемещение точки по координате .
Вектор имеет своим началом точку . Его контравариантные координаты обозначаем через , так что можем записать
= + + , (11)
где = .
С другой стороны, учтем связь (6) вектор-функции с контравариантными координатами , .
= + ,
Здесь векторы и , , не зависят от , , . Тогда, согласно определению дифференциала функции , рассматриваемой как векторная функция переменных , , и задаваемой этой формулой, можем записать:
= . (12)
В (12) обозначают дифференциалы координат . Сопоставляя (11) и (12), видим, что величины , являющиеся коэффициентами при в (11), должны совпадать с коэффициентами при в формуле (12). Иначе говоря, дифференциалы в (12) являются координатами вектора в основной системе:
= , .
Вернемся к соотношению (10). Преобразуем его правую часть, учитывая, что из (5) можем записать равенства
, .
Подставляя их в правую часть (10), придем к следующему представлению линейного перемещения :
= .
Сопоставляя его с (12), получаем
= , .
Здесь коэффициенты Ламе вычисляются в точке . Таким образом, установили связь линейных перемещений по контравариантной координате с линейными перемещениями по криволинейной координате . Такая связь формулируется следующим образом.
Дифференциал контравариантной координаты равен произведению коэффициента Ламе, вычисленного в точке , на дифференциал криволинейной координаты .
При естественном способе задания движения точки ее траектория часто задается с использованием криволинейных координат. Параметрическое задание траектории в таком случае имеет вид
= , = , = , ,
где , , — дважды непрерывно дифференцируемые функции на промежутке .
Для того чтобы перейти к естественному способу задания движения, требуется построить естественную параметризацию траектории. Для этого, как показано в §2, необходимо определить связь длины дуги с параметром , являющимся внутренней переменной заданной траектории. Искомая связь будет установлена, если укажем зависимость дифференциала длины дуги от дифференциала внутренней переменной.
С целью решения поставленной задачи построим параметризацию траектории, заданной параметрически функциями , , . Параметризацию получим, если подставим в (1) вместо криволинейных координат , , координатные функции , , , соответственно. В результате придем к следующему векторному соотношению
= = , (13)
которое при каждом значении задает положение в пространстве точки , имеющей криволинейные координаты , , на заданной траектории. А тогда можем записать
,
где — линейное перемещение точки по кривой .
Из (13) находим
,
и, следовательно,
. (14)
Здесь — метрические коэффициенты основной системы координат, а и — коэффициенты Ламе. Все коэффициенты вычисляются в произвольном положении точки на заданной кривой.
Если не фиксировать траекторию точки (считать ее произвольной), то, учитывая, что линейное перемещение связано с линейными перемещениями криволинейных координат , , соотношением = , получим следующее выражение для дифференциала дуги на любой траектории:
.
В нем следует положить
, ,
в том случае, когда траектория фиксирована и определяется криволинейными координатами , , . В результате такой замены придем к соотношению (14).