- •§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •1º. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки.
- •2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
- •3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
- •4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.
- •5º. Ортогональные криволинейные координаты и условия их ортогональности.
- •6º. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями в криволинейных координатах.
- •7º. Союзная система координат и ее связь с основной.
- •8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
- •9º. Ускорение точки в криволинейных координатах.
- •§6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.
- •§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.
Лемма Лагранжа.
Пусть задано движение точки в криволинейных координатах
= , .
Определение 10.
Величина называется обобщенной скоростью точки по координате в момент времени . Величина называется обобщенным ускорением точки по координате в момент времени .
Установим формулу связи скорости и ее контравариантных координат с обобщенными скоростями в произвольный момент времени . Поскольку в векторной форме движение задается формулой
,
то по определению скорости можем записать
= .
С одной стороны, вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая под символом , является суперпозицией вектор-функции от трех переменных , , и заданных функций , , , зависящих от времени , будем иметь
= = . (26)
С другой стороны, вектор можем разложить по базису , , , вычисленному в точке , имеющей значения криволинейных координат = , = , = в заданный момент времени . И тогда придем к следующему выражению для :
. (27)
Согласно определению координат любого вектора, множители при базисных векторах , , в разложении (27) называются контравариантными координатами скорости в аффинной системе, имеющей начало в точке .
Сопоставляя (26) и (27), получаем
= , . (28)
Здесь — коэффициент Ламе по координате , соответствующий моменту времени .
Формула (28) дает связь контравариантных координат скорости с обобщенными скоростями , .
С учетом (27) и (28), находим выражение для квадрата модуля скорости:
. (29)
Установим теперь связь ковариантных координат , , с обобщенными скоростями . Согласно определению ковариантной координаты имеем . Подставляя (27) и (28), находим искомую связь
. (30)
В частности, из (28), (29) и (30) можем сделать следующий вывод.
Если — ортогональный ортонормированный базис при любых значениях , , (т.е. криволинейные координаты , , — ортогональные), то
= , , и = .
В общем случае (когда криволинейные координаты — не ортогональные) ковариантные и контравариантные координаты будут отличаться друг от друга:
, .
Дадим другой способ вычисления координат . Для этого сначала введем в рассмотрение функцию , зависящую от шести независимых переменных, и докажем лемму Лагранжа, устанавливающую связь производных от функции и от функции .
Указанную функцию определим следующей формулой
. (31)
Независимыми переменными в ней будем считать криволинейные координаты , , и обобщенные скорости , , . Следует заметить, что точка, стоящая в обозначениях переменных , , , не означает дифференцирование переменных , , по времени . Это всего лишь символ в данных обозначениях.
В правой части равенства (31) вектор является вектор-функцией , задающей связь (1) криволинейных координат точки с декартовыми.
Функцию будем считать заданной при всех и при любых значениях , , .
Поскольку дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то будет непрерывно дифференцируема по переменным , , . Кроме того, она линейна по обобщенным скоростям , , .
Пусть задано произвольное движение точки в криволинейных координатах , . Вычислим значения функции на этом движении, полагая, что переменные , , связаны с обобщенными скоростями в любой момент времени на данном движении равенствами
, .
Для того чтобы вычислить искомое значение функции, необходимо заменить в правой части равенства (31) переменные на , а — на , .
Действительно, согласно определению мгновенной скорости в момент времени , необходимо вычислить движение , а затем взять производную по от него. Так что будем иметь
.
Это выражение будет совпадать со значением функции , задаваемым формулой (31), в котором переменные заменены на , а на для .
В результате получим вектор , совпадающий по значению с вектором , вычисленным по формуле (26).
Поскольку установленное таким образом равенство справедливо на любом движении и в любой момент времени , то можем сделать заключение о том, что формула (31) дает связь обобщенных скоростей точки с ее скоростью в абсолютном пространстве в соответствующем положении
= .
Установим теперь связь производных от функции с производными и от функции . Такая связь дается леммой Лагранжа. Прежде чем формулировать лемму Лагранжа, введем понятие производной от функции вдоль движений точки .
Вычислим производную от функции и обозначим ее . Пусть задано движение точки в криволинейных координатах
, . (32)
Определим значения функции , которые она может принимать на движении (32). Ясно, что эти значения задаются вектор-функцией , которая получается заменой в аргументов на правые части (32).
Вычислим производную по от функции .
. (33)
Функция , стоящая в левой части (33), имеет смысл скорости изменения функции вдоль движения (32). В правой части (33) указывается ее аналитический вид, построенный по правилам дифференцирования по времени функции как сложной функции, в которой аргументы , , задаются движением (32).
Как известно, правило дифференцирования сложной функции предполагает выполнение следующих операций.
Вычисление частных производных от функции . В результате получают три функции,
, ,
зависящие от трех переменных .
Каждая функция с номером умножается на переменную , и производится суммирование по всех построенных произведений. В результате будет построена функция, зависящая от шести переменных и . Будем записывать эту функцию в операторной форме или, что то же самое, в форме . В явном выражении этот оператор принимает вид:
. (34)
В построенной на этапе 2 функции (34) переменные заменяются функциями , а переменные — производными , , где — правые части (32), определяющие заданное движение материальной точки.
Результатом произведенных действий, описанных на этапах 1,2,3, является функция, зависящая только от одной независимой переменной — от времени , которая совпадает с правой частью равенства (33).
Однако обратимся к функции (34), построенной в процессе вычислений на этапе 2.
Определение 11.
Функция, определяемая правой частью (34), называется производной от функции вдоль движений механической системы и обозначается .
В отличие от функции (33), функция (34) зависит от шести переменных и . Из ее построения следует, что подстановкой в нее вместо любого фиксированного движения материальной точки, заданного в криволинейных координатах, и подстановкой в нее вместо — обобщенных скоростей на данном фиксированном движении, будет определена скорость изменения функции вдоль этого движения. Иначе говоря, зная функцию (34), можно определить скорость изменения функции на любом заданном движении, а не только на движении (32). Поэтому функция (34) играет в дальнейшем важную роль.
Отметим, что функция, стоящая в правой части равенства (34), получена на основе действий, описанных в первых двух этапах вычисления производной по времени от функции . В таких случаях говорят, что «она получена дифференцированием функции вдоль движений (на движениях) материальной точки». Применительно к ее обозначению , записанному в левой части (34), также говорят, что «в левой части равенства (34) дифференцирование функции по времени производится вдоль движений материальной точки». В указанных случаях результат дифференцирования, т.е. правая часть равенства (34), задающая явный вид построенной функции, как правило, не приводится.
Докажем теперь следующую лемму Лагранжа.
Лемма Лагранжа.
При всех и любых значениях переменных , , выполняются равенства
а) = , ;
б) = , .
Здесь задается формулой (1), — формулой (31), а — правой частью равенства (34).
Доказательство.
Равенство а) легко проверяется, поскольку функция линейно зависит от . Равенство б) проверяется непосредственным вычислением левой и правой части. Вычисляя левую часть равенства б) в формулировке леммы Лагранжа, получим:
= . (35)
Последнее равенство в соотношении (35) записано на основе того, что функция дважды непрерывно дифференцируема по переменным , , . А тогда смешанные производные от по и будут непрерывными и, следовательно, порядок дифференцирования при их вычислении можно переставлять. При такой перестановке значения смешанных производных будут совпадать:
= .
Сопоставляя (35) и (34), видим, что правая и левая части равенства б) совпадают. Лемма доказана.
Применим лемму Лагранжа к выводу формулы для вычисления ковариантных координат , , скорости . Поскольку
= , = , ,
то можем записать
= = .
Подставляя соотношение а) из леммы Лагранжа и учитывая, что задается формулой (31), а для нее справедливо очевидное равенство
= ,
где = = , окончательно находим
= , . (36)
Отметим здесь, что полученная формула (36) для отличается по виду от (30). Однако легко видеть, что она совпадает с (30), если учесть в (36), что функция задается правой частью равенства (29). На практике часто бывает удобнее сначала построить функцию , а затем для вычисления применить формулу (36) вместо непосредственного применения (30).
В заключение установим связь декартовых и криволинейных координат скорости. Легко видеть, что
= = = = = .
Отсюда круговой перестановкой координат и ортов получим выражения для и :
,
.
В матричной записи полученные выражения для , и примут вид:
= = ,
где — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат,
= .
В данном выражении элементы матрицы вычисляются в точке (а не в точке ).