2º. Задание движения в полярных координатах.

Задать движение в полярных координатах — это значит задать закон изменения координат и по времени

= , = (3)

в вектор-функции , определяющей связь положения точки с полярными координатами и . Эта связь в векторной форме имеет вид

.

Введем орты и , вычисляемые через полярные координаты точки  . Положим, по определению,

= = , = , (4)

где .

Очевидно, — это орт радиус-вектора  точки  , — орт, характеризующий изменение направления орта  при изменении угла . Иначе, это орт касательной к окружности радиуса с центром в точке (касательной в точке ). Орты и взаимно ортогональны.

Векторы  и называются базисом полярной системы координат.

Используя закон движения (3) и первое соотношение в (4), получим

= = . (5)

Формула (5) — это векторный способ задания движения через полярные координаты. В ней

= .

3º. Скорость точки в полярных координатах.

Дифференцируя (5), получим

= + = + . (6)

Формула (6) дает разложение вектора скорости  по базису полярной системы координат. Отсюда следует, что

= + , = , = ,

и — полярные координаты скорости.

Вектор называется радиальной скоростью, а — трансверсальной скоростью точки.

Учитывая ортогональность ортов и , из (6) находим выражение для модуля скорости :

= = = .

4º. Ускорение точки в полярных координатах.

Дифференцируя (6) по времени , получим

= = = + , (7)

где

= , = .

Вектор называется радиальным ускорением точки, а вектор — трансверсальным ускорением точки.

Замечание.

Из (6) и (7) легко получить формулы для скорости и ускорения в круговом движении с учетом того, что на таком движении выполняются тождества .