- •Часть 1. Кинематика
- •Глава 1. Кинематика точки.
- •§1. Векторный и координатный способы задания движения точки.
- •1º. Векторный способ задания движения точки.
- •1.1. Описание векторного способа задания движения.
- •1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании
- •1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения.
- •2º. Координатный способ задания движения точки.
- •2.1. Описание координатного способа задания движения.
- •2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе задания движения.
- •2.3. Связь векторного и координатного способов.
- •§2. Естественный способ задания движения точки.
- •2º. Основные определения из дифференциальной геометрии.
- •2.1. Способы задания кривой.
- •2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии.
- •3º. Описание естественного способа задания движения.
- •4º. Вычисление скорости и ускорения при естественном способе задания движения.
- •5º. Кинематический способ вычисления кривизны кривой.
- •Алгоритм построения радиуса кривизны кривой.
- •§3. Круговое движение точки.
- •1º. Координатный способ задания кругового движения.
- •2º. Векторный способ задания кругового движения.
- •3º. Естественный способ задания кругового движения точки .
- •4º. Скорость и ускорение точки в круговом движении.
- •§4. Задание движения точки в полярных координатах.
- •1º. Понятие полярной системы координат.
- •2º. Задание движения в полярных координатах.
- •3º. Скорость точки в полярных координатах.
- •4º. Ускорение точки в полярных координатах.
1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения.
Соотношение (1) — это векторный способ задания движения, позволяющий определить положение точки в любой момент времени .
Соотношение (2) — это способ вычисления недостающих кинематических характеристик в этот момент (скорости и ускорения материальной точки) по заданному движению.
Однако движение может быть определено и в том случае, когда задана скорость или ускорение материальной точки.
Действительно, если в любой момент времени задана скорость , то имеем
. (3)
Справа стоит известная вектор-функция . Слева — вектор-функция , определяющая движение точки, является неизвестной.
На формулу (3) можем смотреть, как на уравнение для определения движения. Из него следует, что является первообразной для функции , а потому
= + = + . (4)
Здесь — некоторый постоянный вектор, а = — первообразная функция вектор-функции .
Соотношение (4) задает семейство движений, каждое из которых имеет в любой момент времени заданную скорость .
Чтобы из формулы (4) выделить конкретное движение, проходящее через заданную геометрическую точку с радиус-вектором при , надо положить в (4) слева и = . Тогда получим
= + ,
где — значение первообразной = в момент .
Выразив отсюда , получим
= + - .
Поскольку - = — это определенный интеграл от векторной функции , то можем записать
= = + . (5)
Формула (5) является векторным заданием движения через задание скорости как функции времени.
Пусть теперь известно ускорение в любой момент времени . Тогда движение будет связано с ним следующим соотношением:
= . (6)
Если учесть, что скорость связана с ускорением (по определению) соотношением
= , (7)
то из (7) мы можем определить скорость по известному вектору . Для этого воспользуемся формулой (5), в которой , , , заменим соответственно на , , , ; обозначает вектор скорости, которую имеет материальная точка в момент времени . Получим
= = + . (8)
Учитывая связь (3) скорости с движением , подставим найденную функцию в (5). Тогда найдем вектор-функцию , задающую такое движение материальной точки, которое имеет ускорение, совпадающее в каждый момент времени с заданным ускорением :
= = + + . (9)
На этом движении материальная точка в момент времени проходит через положение и имеет в нем скорость . Таким образом, для однозначного построения движения материальной точки по заданному ускорению требуется знать не только положение в момент , но и скорость .
Примечание.
Если известна скорость , то, как следует из сказанного, движение определяется из уравнения (3) посредством вычисления интеграла от вектора скорости. В уравнение (3) движение входит через свою производную по времени.
Равенство, в которое входят производные от неизвестной функции, зависящей от одного аргумента, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядком уравнения называют наивысший порядок производной от неизвестной функции, с которым эта функция входит в данное уравнение. Сама функция может входить или не входить в него.
Как видим, уравнение (3) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно вектор-функции , а уравнение (7) — дифференциальным уравнением второго порядка.
Функция, дифференцируемая в количестве раз, совпадающем с порядком дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество относительно независимой переменной, называется решением данного дифференциального уравнения.
Согласно данному определению, вектор-функция , задаваемая формулами (5) и (9), является решением уравнения (3) и (7), соответственно.
Таким образом, если движение точки задается через скорость или ускорение, то оно строится как решение векторного обыкновенного дифференциального уравнения.
В таких случаях дифференциальное уравнение, решением которого является закон движения материальной точки, называется математической моделью ее движения.