§4. Задание движения точки в полярных координатах.

При задании кругового движения точки использовалось представление этого движения через закон изменения угла  и закон изменения (точнее сказать, закон сохранения неизменным) расстояния от точки отсчета  до геометрической точки  , с которой в момент времени  по положению совпадает материальная точка.

Иначе говоря, при описании движения точки использовались две переменные: и .

Такие переменные и , как правило, наиболее часто применяются для описания плоского движения материальной точки. Их называют координатами полярной системы координат.

1º. Понятие полярной системы координат.

Полярная система координат задается следующим образом (см. рис.7).

Фиксируем в плоскости движения точку отсчета  и ось  , проходящую через точку отсчета. Фиксируем положительное направление отсчета расстояний от точки  вдоль этой оси, задаваемое ортом .

Положительная полуось называется полярной осью.

Пусть в некоторый момент времени материальная точка  занимает на плоскости положение , где . Будем определять это положение расстоянием от точки  до точки  и углом  , который образует вектор с полярной осью. Угол отсчитываем от полярной оси до вектора .

Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки, если смотреть с конца орта , выбранного для ориентации данной плоскости и ортогонального ей.

Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты и называются полярными координатами точки.

полярная ось

Рис.7.

Введем декартовую прямоугольную систему координат  , в которой (см. рис.7):

— точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;

— совпадает с полярной осью;

— ортогональна плоскости движения, и орт является ее

базисным вектором, определяющим ориентацию плоскости ;

— дополняет систему до правой.

Тогда связь и полярной системы задается очевидным соотношением

, , . (1)

Здесь , , — декартовые координаты точки ;  и  — ее полярные координаты, причем  и  изменяются в пределах и .

Из (1) вытекает, что и однозначно определяют координаты  и  точки  в плоскости  . Из них легко получить обратную зависимость, т.е. зависимость полярных координат и точки  от ее декартовых координат и ,

, . (2)

Второе равенство в (2) справедливо только при . Если , , то из первого равенства в (1) получаем . А тогда с учетом второго равенства в (1) будем иметь:

если , то = ; если , то = .

Если и , то , и угол может принимать любые значения.

Таким образом, если , то по координатам точки однозначно определяются ее полярные координаты и :

, ,

где функция называется функцией аргумент. Она имеет следующую аналитическую структуру:

=

Функция не определена в точке и однозначна во всех остальных точках плоскости .