- •Часть 1. Кинематика
- •Глава 1. Кинематика точки.
- •§1. Векторный и координатный способы задания движения точки.
- •1º. Векторный способ задания движения точки.
- •1.1. Описание векторного способа задания движения.
- •1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании
- •1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения.
- •2º. Координатный способ задания движения точки.
- •2.1. Описание координатного способа задания движения.
- •2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе задания движения.
- •2.3. Связь векторного и координатного способов.
- •§2. Естественный способ задания движения точки.
- •2º. Основные определения из дифференциальной геометрии.
- •2.1. Способы задания кривой.
- •2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии.
- •3º. Описание естественного способа задания движения.
- •4º. Вычисление скорости и ускорения при естественном способе задания движения.
- •5º. Кинематический способ вычисления кривизны кривой.
- •Алгоритм построения радиуса кривизны кривой.
- •§3. Круговое движение точки.
- •1º. Координатный способ задания кругового движения.
- •2º. Векторный способ задания кругового движения.
- •3º. Естественный способ задания кругового движения точки .
- •4º. Скорость и ускорение точки в круговом движении.
- •§4. Задание движения точки в полярных координатах.
- •1º. Понятие полярной системы координат.
- •2º. Задание движения в полярных координатах.
- •3º. Скорость точки в полярных координатах.
- •4º. Ускорение точки в полярных координатах.
2º. Основные определения из дифференциальной геометрии.
2.1. Способы задания кривой.
Как показано в п.1º, в трехмерном пространстве с системой отсчета траектория представляет собой кривую линию. Поэтому задать траекторию — это значит задать кривую в трехмерном пространстве. Как известно из дифференциальной геометрии, кривая в пространстве с системой координат может быть задана одним из следующих способов: векторный, параметрический, явное задание кривой, неявное задание кривой.
1). Векторный способ.
Задается векторная функция , и полагается
= . (2)
Здесь — радиус-вектор точки на кривой, — параметр, принимающий все значения из промежутка .
Векторная функция называется параметризацией кривой.
Если сделаем замену
, ,
при которой промежуток изменения параметра однозначно отображается в промежуток изменения параметра , то подстановкой в (2) получим
= , , (3)
где = . Соотношение (3) задает геометрически ту же кривую, что и соотношение (2). В таком случае говорят, что данная кривая задается в параметризации .
2). Параметрический способ.
В декартовой прямоугольной системе координат задаются координаты точки на кривой , , , .
3). Явное задание кривой.
В декартовой прямоугольной системе координат оно имеет вид:
, — на плоскости ;
, , — в пространстве с ДПСК .
При явном задании кривой роль параметра играет одна из координат (в указанном здесь задании — это координата ).
4). Неявное задание кривой.
Такое задание имеет вид:
– на плоскости ;
, — в пространстве с ДПСК .
2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии.
Пусть дана кривая . На этой кривой будем обозначать — некоторую фиксированную точку и — произвольную точку.
Определение 3.
Кривая называется регулярной степени кривой, если существует параметризация такая, что вектор-функция будет раз непрерывно дифференцируема, и в любой точке кривой. Здесь
= .
Если =1, то кривая называется гладкой.
Определение 4.
Точка кривой называется особой, если для любой параметризации в точке выполняется равенство .
Определение 5.
Предельное положение хорды (если оно существует), когда точка стремится к точке (по кривой), называется касательной прямой в точке к кривой .
Рис.3.
На рисунке 3 обозначены:
– заданная кривая;
– фиксированная точка на кривой ;
– переменная точка на кривой ;
– касательная прямая в точке ;
– точка отсчета в пространстве;
– положение точки относительно точки ;
– положение точки относительно точки ;
– плоскость, проходящая через касательную и хорду .
Определение 6.
Нормалью в точке к кривой называется любая прямая, перпендикулярная к касательной в точке .
Определение 7.
Плоскость, перпендикулярная к касательной в точке , называется нормальной плоскостью в точке (см. рис.4).
Пусть — касательная в точке к кривой . Проведем плоскость через касательную и хорду (см. рис.3).
Определение 8.
Предельное положение плоскости ( ) при —> (если оно существует) называется соприкасающейся плоскостью.
В дифференциальной геометрии доказано, что если можно указать параметризацию кривой такую, что существуют и в точке , и при этом , то в точке существует соприкасающаяся плоскость, и нормаль к этой плоскости коллинеарна вектору
.
Здесь штрихом обозначена производная по , а — значение параметра, соответствующее точке .
Определение 9.
Главной нормалью в точке называется линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей. Иначе, главная нормаль — это нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (см. рис.4).
— главная нормаль
н ормальная плоскость
соприкасающаяся
п лоскость
— касательная
— бинормаль спрямляющая плоскость
Рис.4.
Определение 10.
Бинормаль в точке — это прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости в точке (см. рис.4).
Определение 11.
Спрямляющей плоскостью в точке называется плоскость, перпендикулярная главной нормали в точке (см. рис.4).
Очевидно, спрямляющая плоскость проходит через касательную прямую и бинормаль в точке .
Определение 12.
Естественным трехгранником в точке называется трехгранник, образованный нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостями точки (см. рис.4).
Определение 13.
Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится периметр ломаной, вписанной в дугу, когда количество звеньев стремится к бесконечности, а максимальная длина звена стремится к нулю.
Дифференциал дуги кривой связан с параметризацией кривой следующей зависимостью
= = . (4)
Здесь .
Формула для справедлива в декартовой прямоугольной системе координат. В аффинной системе она имеет вид
= = = = .
Определение 14.
Параметризация называется естественной, если в качестве параметра при задании кривой выступает — длина дуги кривой, исчисляемая от некоторой фиксированной точки на этой кривой.
Справедливо утверждение: для регулярной кривой (т.е. кривой без особых точек) всегда имеет место неравенство для любого .
Рис.5.
Иначе говоря, регулярная кривая в естественной параметризации при любых имеет значения . Более того, из (4) следует, что .
Обозначим через и положения точек и на кривой (см. рис.5). Проведем касательные и к ней в этих точках. Угол , образованный касательными, называется углом смежности.
Определение 15.
Если существует предел , то он называется кривизной кривой в точке .
Очевидно, кривизна кривой всегда неотрицательна, т.е. .
В дифференциальной геометрии доказано, что если кривая задается в параметризации , то в любой неособой точке, где существуют и , кривизна кривой может быть вычислена по формуле .
Если кривая задается в естественной параметризации, то .
Определение 16.
Величина называется радиусом кривизны кривой в точке .
Здесь — кривизна кривой в точке .
Справедливы следующие формулы Френе, устанавливающие связь направляющих ортов касательной, главной нормали и бинормали с естественной параметризацией кривой:
= — орт, коллинеарный касательной в точке ;
= — орт, коллинеарный главной нормали в точке ,
или отсюда = = ;
= — орт, коллинеарный бинормали в точке .
Векторы , , являются взаимно ортогональными единичными векторами и образуют правую тройку.
Определение 17.
Тройка векторов , , с началом в точке называется репером Френе.
Определение 18.
Естественной системой координат называется декартовая прямоугольная система координат с полюсом в выбранной точке на кривой и базисом, совпадающим с репером Френе в этой точке.