2º. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях

на подвижные оси.

Выведем формулу для дифференцирования любого вектора, заданного своими проекциями на подвижные оси.

Итак, пусть вектор задается в проекциях на подвижные оси:

= + + ,

где ,  ,  — орты подвижной системы координат, ,  ,  — координаты вектора в этой системе координат. Дифференцируя по  обе части равенства, получим

= . (10)

По определению относительной производной можем записать

.

Согласно формулам (6) Эйлера-Пуассона, будем иметь

= + + = ( + + )= .

Поэтому, подставляя в правую часть равенства (10) полученные выражения для сумм векторов, окончательно находим:

= + . (11)

Формула (11) устанавливает правило дифференцирования по времени любого вектора, заданного в проекциях на подвижные оси.

3º. Теорема о сложении скоростей.

Теорема (о сложении скоростей).

Абсолютная скорость точки в сложном движении равна сумме переносной скорости точки и ее относительной скорости, т.е. справедливо равенство

= + . (12)

Доказательство.

Как показано в п.2º§1, положение точки в абсолютном пространстве в момент времени можем представить в виде суммы

= + , (13)

где — положение полюса подвижной системы

в абсолютном пространстве в момент времени ,

— положение точки в момент времени

относительно полюса .

Вектор-функции и задаются разложениями (1) и (4) из §1, соответственно. Вектор-функция определяется формулой (21) в §1. В ней векторы ,  ,  задаются направляющими косинусами в абсолютной системе элементами матрицы . Поэтому проекции ,  ,  вектора на оси абсолютной системы связаны с координатными функциями ,  ,  и матрицей следующими соотношениями

= ,

Таким образом, имеем .

Разложение вектора по подвижному базису ,  ,  в любой момент времени  совпадает с разложением вектор-функция , задающей относительное движение точки. Так что согласно (6) из §1 можем записать: = .

Дифференцируем равенство (13) по  :

= = + .

Будем рассматривать здесь вектор как вектор-функцию, заданную в проекциях на подвижные оси. Тогда = . Применяя к вектору формулу (11), получим

= + = + . (14)

В правой части этого равенства имеем:

• в соответствии с определением 1 из §2, — это абсолютная скорость точки (полюса подвижной системы);

• в соответствии с определением 2 из §2, = — относительная скорость точки ;

• согласно формуле (8), = — переносная скорость точки  .

Заменяя в правой части (14) указанные выражения на   и  , придем к равенству (12). Теорема доказана.

4º. Теорема о сложении ускорений в сложном движении материальной точки.

Теорема Кориолиса (о сложении ускорений).

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений, где

= . (15)

Доказательство.

Дифференцируя (12), получим

= = + + + =

= + + + + = + + ( + + =

= + + + +2 + + .

В этих преобразованиях использовали:

• формулу (8) для переносной скорости точки ;

• выражение (3) для относительной скорости точки ;

• применительно к векторам и формулу (11) дифференцирования вектора, заданного своими проекциями на подвижные оси

= , = + .

А также применили формулы:

• (2) для абсолютного ускорения точки ;

• (9) для переносного ускорения ;

• (4) для относительного ускорения ;

• (15) для кориолисова ускорения .

Теорема доказана.