- •Глава 4. Сложное движение.
- •§1. Сложное движение материальной точки.
- •1º. Постановка задачи о сложном движении точки.
- •2º. Связь между составляющими движениями в сложном движении материальной точки.
- •§2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки.
- •1º. Понятие кинематических характеристик составляющих движений
- •2º. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях
- •3º. Теорема о сложении скоростей.
- •4º. Теорема о сложении ускорений в сложном движении материальной точки.
- •§3. Сложное движение твердого тела.
- •1º. Постановка задачи о сложном движении твердого тела.
- •2º. Скорости точек твердого тела в сложном движении.
- •2.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении.
- •2.2. Теорема о сложении угловых скоростей.
- •§4. Кинематические уравнения Эйлера.
- •1º. Связь углов Эйлера и их производных.
- •2º. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера.
- •§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона.
- •1º. Задача Дарбу.
- •2º. Кинематические уравнения Пуассона.
2º. Связь между составляющими движениями в сложном движении материальной точки.
Найдем связь между абсолютным, переносным и относительным движением материальной точки. Для этого сначала рассмотрим абсолютное движение материальной точки . Будем определять его через движение , задаваемое относительно точки отсчета . Пусть точка в момент времени занимает положение = . Положение точки в этот же момент времени относительно точки отсчета обозначим (см. рис.2).
Рис.2.
Если = — положение точки отсчета в момент относительно точки отсчета , то по правилу сложения векторов можем записать
= + ,
или иначе
= = + . (11)
В координатной форме это векторное соотношение примет вид:
= ,
где , , — координаты вектора ,
, , — координаты вектора ,
, , — координаты вектора .
Координаты всех векторов задаются в абсолютной системе координат.
Будем теперь рассматривать положение точки в этот же момент времени относительно точки отсчета в подвижном пространстве. Это положение задается вектор-функцией , т.е. имеем
= = . (12)
Вектор-функция определяет относительное движение точки . В координатной форме равенство (12) примет вид:
.
Здесь , , — координаты точки в момент времени в подвижной
системе координат , или иначе, это координаты
вектора ;
, , — координатные функции относительного движения
в подвижной системе координат .
Поскольку = и = , то можем записать
= . (13)
Векторы и задаются в разных системах координат. В координатной форме равенство (13) выполняется в каждый момент времени и имеет вид:
.
Здесь — вектор-функции, задающие движение базиса подвижного пространства в абсолютном .
Если — матрица ориентации пространства относительно пространства в момент времени , то можем записать
= ,
или иначе,
= . (14)
Поэтому, подставляя (14) в (11), получим
= + , (15)
где = . (16)
В (15) слева стоит вектор-функция, определяющая абсолютное движение точки , а справа — функция, записанная в векторно-матричной форме, задающая движение некоторого фиктивного твердого тела. Для него связанной системой координат служит подвижная система . В (15) условно следует считать вектор неподвижным в системе . Этот вектор совпадает с тем положением точки твердого тела, которое занимает в нем в момент времени точка .
В (16) слева стоит вектор , указывающий в момент времени положение точки в фиктивном твердом теле. Справа в (16) стоит вектор-функция , задающая относительное движение точки . Следовательно, равенство (15) означает, что абсолютное движение точки (левая часть равенства (15)) совпадает с движением той точки фиктивного твердого тела (правая часть равенства (15)), с которой в момент времени по положению совпадает материальная точка .
По определению 4 переносного движения точки векторная функция, стоящая справа в (15), — это функция, задающая переносное движение указанной точки (см. (10)).
Равенство (16) (по определению 1) — это относительное движение точки .
Таким образом, соотношения (15) и (16) устанавливают связь между абсолютным, переносным и относительным движением точки .
Подставляя (16) в (15), получим эту связь в виде одного равенства, записанного в векторно-матричной форме
= . (17)
В (17) задается координатными функциями в подвижных осях, а и – координатными функциями в абсолютных осях. Столбцы матрицы содержат законы изменения направляющих косинусов базисных ортов подвижных осей в абсолютном пространстве.
Сопоставляя правые части (10) и (17), можем сделать следующее заключение, которое сформулируем в виде теоремы.
Теорема.
Абсолютное движение точки является суперпозицией её переносного движения и относительного движения .
Это утверждение можно записать в виде равенства
= . (18)
Данная теорема называется теоремой связи абсолютного и составляющих движений в сложном движении точки.
Замечание.
Формулу (17) можно записать в векторном представлении
= . (19)
В правой части равенства (19) стоит функция
, (20)
по виду совпадающая с вектор-функцией , задающей относительное движение точки при любом фиксированном положении базиса , , подвижной системы координат. Значение вектор-функции (20) зависит не только от времени , но и от ориентации базиса , , в абсолютном пространстве.
Вектор-функции , выступающие в качестве аргументов в функции в правой части (19) суть функции, определяющие движение базиса системы . Это движение является вращением фиктивного твердого тела вокруг полюса . Проекции векторов на абсолютные оси в момент времени совпадают, соответственно, с элементами первого, второго и третьего столбцов матрицы .
Если подставим функции в правую часть (20), то получим функцию следующего вида:
. (21)
Тогда равенство (19) с учетом (21) можно записать так:
= + . (22)
В нем вектор-функция определяется по формуле (21) и задает положение точки в любой момент времени относительно полюса в том случае, когда подвижная система координат совершает вращение вокруг полюса по закону
. (23)
По построению, функция — это суперпозиция функции (20), задающей относительное движение точки , и функций (23), задающих переносное движение подвижного пространства.
Переносным движением, соответствующим заданию (23), как отмечено выше, является вращение подвижного пространства вокруг фиксированной в нем точки отсчета и «условно» неподвижной в абсолютном пространстве.
Из всего сказанного в данном замечании можно сделать вывод, что соотношение (19) определяет связь абсолютного, переносного и относительного движения материальной точки в другой форме. Эта связь формулируется следующим образом.
Абсолютное движение материальной точки может быть представлено суммой абсолютного движения точки отсчета подвижного пространства и суперпозиции (21) двух движений — относительного движения (20) материальной точки и вращения (23) подвижного пространства вокруг точки отсчета .