- •Глава 4. Сложное движение.
- •§1. Сложное движение материальной точки.
- •1º. Постановка задачи о сложном движении точки.
- •2º. Связь между составляющими движениями в сложном движении материальной точки.
- •§2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки.
- •1º. Понятие кинематических характеристик составляющих движений
- •2º. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях
- •3º. Теорема о сложении скоростей.
- •4º. Теорема о сложении ускорений в сложном движении материальной точки.
- •§3. Сложное движение твердого тела.
- •1º. Постановка задачи о сложном движении твердого тела.
- •2º. Скорости точек твердого тела в сложном движении.
- •2.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении.
- •2.2. Теорема о сложении угловых скоростей.
- •§4. Кинематические уравнения Эйлера.
- •1º. Связь углов Эйлера и их производных.
- •2º. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера.
- •§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона.
- •1º. Задача Дарбу.
- •2º. Кинематические уравнения Пуассона.
§2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки.
1º. Понятие кинематических характеристик составляющих движений
материальной точки.
Определение 1.
Абсолютной скоростью точки называется вектор
= = . (1)
Абсолютным ускорением точки называется вектор
= = = . (2)
Определение 2.
Относительной скоростью точки называется вектор
= . (3)
Относительным ускорением точки называется вектор
= = = . (4)
В (3) и (4) обозначает относительную производную вектора, заданного своими координатами в подвижных осях (производная вектора, заданного проекциями на подвижные оси). По определению такой производной (условной производной) осуществляется дифференцирование по времени только координат вектора, а базисные векторы, хотя они и меняются по времени, не дифференцируются.
Определение 3.
Переносной скоростью и переносным ускорением точки в момент времени называются абсолютные скорость и ускорение точки фиктивного твердого тела, положение которой в этот момент совпадает с положением точки .
Определение 4.
Переносной мгновенной угловой скоростью и переносным мгновенным угловым ускорением называются мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение подвижной системы координат относительно абсолютного пространства.
Из определения 4 и определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат (см. гл.3, §8) следует
= . (5)
Вектор является решением уравнений Эйлера-Пуассона
= , = , = , (6)
в которых вектора , , , , , вычисляются на заданном движении базиса системы в фиксированный момент времени .
Вектор мгновенного углового ускорения переносного движения связан с зависимостью
= . (7)
Примечание.
В дальнейшем, в тех случаях, когда это не будет вызывать недоразумений, в названиях векторов и слово «мгновенный» будем опускать.
Выведем формулы для переносной скорости и переносного ускорения точки .
В соответствии с определением 3 переносная скорость точки в момент времени совпадает с абсолютной скоростью той точки фиктивного твердого тела, которая в этот момент совпадает по своему положению с точкой .
Абсолютная скорость любой точки твердого тела задается формулой Эйлера
= + ,
где = — положение точки в системе ; — абсолютная скорость полюса ; — вектор мгновенной угловой скорости фиктивного твердого тела.
Поскольку по определению фиктивного твердого тела система является для него связанной системой координат, то вектор угловой скорости фиктивного твердого тела совпадает с вектором угловой скорости этой системы. Вектор угловой скорости системы , согласно определению 4, является вектором переносной мгновенной угловой скорости . Следовательно, .
Кроме того, согласно определению 3 положение точки совпадает в момент времени с положением точки , которое, в свою очередь, на относительном движении совпадает с = .
Поэтому, подставляя и = = = в выражение для скорости и учитывая, что согласно определению 3 переносная скорость точки совпадает со скоростью точки , окончательно находим
= + . (8)
Действуя аналогично, по определению 3 получим выражение для переносного ускорения точки , используя формулу Ривальса для ускорения точек твердого тела
= . (9)
Здесь = = — абсолютное ускорение точки ; — вектор мгновенной угловой скорости переносного движения; — вектор мгновенного углового ускорения подвижной системы координат , определяемый по вектору по формуле (7); = — радиус-вектор точки в момент времени относительно полюса подвижной системы, заданный проекциями на подвижные оси.