2º. Скорости точек твердого тела в сложном движении.

Теорема о сложении угловых скоростей.

2.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении.

Пусть — произвольная точка твердого тела. Она участвует в сложном движении. Одно движение (переносное) — это движение подвижной системы . Другое движение — относительное (это движение точки в подвижной системе ).

Поэтому можем применить теорему о сложении скоростей:

= + , (14)

где — абсолютная скорость, — переносная скорость, — относительная скорость точки .

По определению переносной скорости можем записать

= + + + .

Поскольку + = — переносная скорость точки , то переносная скорость точки представляется в виде

= + . (15)

По определению относительной скорости точки  согласно формуле Эйлера для скоростей точек твердого тела имеем

= + , (16)

где — относительная скорость полюса связанной системы (скорость точки  относительно системы ), — вращательная скорость точки  относительно подвижной системы .

Подставляя (15) и (16) в (14), придем к следующему выражению для скорости :

= + + + = + + .

Поскольку + = — абсолютная скорость точки , то окончательно получим

= + . (17)

Таким образом, доказали теорему.

Теорема.

Абсолютная скорость любой точки  твердого тела равна сумме абсолютной скорости полюса  связанной с телом системы координат и векторного произведения суммы мгновенных угловых скоростей составляющих движений на радиус-вектор точки  относительно полюса  .

2.2. Теорема о сложении угловых скоростей.

Пусть - вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства . Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1.

Вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства в сложном движении равен векторной сумме мгновенных угловых скоростей , , составляющих движений:

= + . (18)

Утверждение следствия 1 легко распространяется на случай  составляющих движений.

Следствие 2.

Если твердое тело участвует в составляющих движениях, то формула (18) имеет вид:

= . (19)

Действительно, если равенство (18) будет доказано, то по индукции легко устанавливается справедливость формулы (19). Поэтому докажем равенство (18) (случай ).

По формуле Эйлера абсолютная скорость любой точки твердого тела определяется через вектор следующим соотношением:

= + . (20)

С другой стороны, рассматривая движение твердого тела как сложное, имеющее два составляющих движения, согласно формуле (17) имеем

= + .

Сопоставляя с (20), в силу произвольности получаем = + , что и требовалось доказать.

§4. Кинематические уравнения Эйлера.

1º. Связь углов Эйлера и их производных.

Обратимся к правилам ввода углов Эйлера для задания ориентации подвижной системы координат в абсолютном пространстве.

Напомним кинематическую схему

Углы вводились последовательными поворотами:

• на угол вокруг третьей оси (ось с направляющим ортом );

• на угол вокруг линии узлов, совпадающей с тем положением в плоскости, образованной первой и второй осью, которое (положение) займет первая ось после поворота на угол ; орт этой оси обозначался , причем = ;

• на угол вокруг третьей оси, которая является неподвижной в теле; направляющий орт этой оси совпадает с ортом .

Такие последовательные повороты можно рассматривать как три составляющих движения:

• первое движение — это вращение системы вокруг оси = относительно абсолютной системы ;

• второе движение — это вращение системы вокруг оси относительно первой подвижной системы ;

• третье движение — это вращение твердого тела вокруг оси относительно второй подвижной системы .

Таким образом, каждое составляющее движение является элементарным вращением вокруг одной оси, неподвижной в предшествующей системе координат.

Как было показано в кинематике твердого тела, каждое такое движение имеет вектор мгновенной угловой скорости вращения относительно предшествующей системы, коллинеарный оси вращения. Причем проекция его на эту ось совпадает с производной по времени от угла поворота, т.е. = , где — орт оси поворота, — угол поворота, = ,  . Применяя приведенные здесь рассуждения к углам Эйлера, будем иметь

= , = = , = .

Обозначим — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства. А тогда согласно теореме о сложении угловых скоростей можем записать

= = + + . (1)

Будем смотреть на это соотношение как на векторное дифференциальное уравнение относительно углов ориентации , , при заданном векторе угловой скорости .

Уравнение (1) называется векторным кинематическим уравнением Эйлера.

Запишем его в проекциях на связанные оси. Для этого последовательно умножим скалярно на орты ,  ,  обе части равенства (1).

Учтем, что

( , , ( , ,

( , , ( , ,

( , , ( , ,

= .

В результате придем к трем равенствам

= + , = - , = + .

Разрешая относительно производных ,  ,  , получим систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

= , = - , = - . (2)

Система уравнений (2) называется кинематическими уравнениями Эйлера.

Они являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно функций ,  ,  , если считать в них ,  ,  заданными функциями времени.