Описание плоскости через точку и нормаль

Это довольно частый случай, когда требуется восстановить каноническое уравнение плоскости, зная одну инцидентную ей точку и вектор нормали.

Дано: опорная точка Р0, нормаль N. ---------------------------------------------- Определить: Коэффициенты уравнения плоскости ax+by+cz+d=0.

Рассмотрим радиус-вектор опорной точки P0 и произвольную точку плоскости Р. Очевидно, что вектор Р0-Р перпендикулярен нормали N:

Из этого условия выводится следующее равенство, которое есть не что иное, как искомое уравнение.

Смысл d

Смысл свободного члена d можно пояснить следующей схемой.

Величина d пропорциональна кратчайшему расстоянию от плоскости до начала координат.

Описание плоскости через три инцидентные ей точки

Обязательным условием является то, что эти точки не должны находиться на обной прямой.

	Дано: три точки Pi(Pix,Piy,Piz), (i=1,2,3), которые принадлежат плоскости; Найти: Коэффициенты уравнения плоскости ax+by+cz+d=0 То есть a, b, c,d.
	Сконструируем из радиусов-векторов заданных точек два инцидентных плоскости непараллельных вектора. Векторное произведение этих векторов – это нормаль к плоскости, что дает нам три из четырех коэффициентов канонического уравнения плоскости.

Точное описание

Четвертый коэффициент определяется их условия принадлежности точки (к примеру, Р1) плоскости:

Описание плоскости через вершины полигона

Это случай, когда задание плоскости является избыточным. Координаты вершин полигона могут быть получены, к примеру, приближенными вычислениями. Ясно, что они, строго говоря, в одной плоскости не лежат. Но нужно получить уравнение «приблизительной плоскости», которая с некоторым приближением содержи эти вершины.

Дано: вершины полигона Pi(Pix,Piy,Piz), (i=1,2…n), которые ПРИБЛИЖЕННО принадлежат плоскости; Найти: Коэффициенты уравнения НЕКОТОРОЙ УСРЕДНЕННОЙ плоскости ax+by+cz+d=0 То есть a, b, c,d.

Формулы М.Ньюэлла позволяют получить коэффициенты a,b,c. Коэффициент d получается традиционно.

j = i==n ? 1 : i+1 ;

Точка встречи плоскости и прямой

Эта задача в трехмерной графике встречается повсеместно.

Уравнение плоскости

Уравнение прямой, которая задана опорной точкой L0 и направляющим вектором D:

Если tx – это значение параметра прямой, координирующее не ней точку встречи, то:

Откуда, решая уравнение относительно tx, получаем:

Точка встречи L_x совпадает с P_x

ИТОГИ

1. Плоскость – основной элемент построения моделей трехмерных тел. Поэтому рассмотрены разные способы восстановления уравнения плоскости по элементам, которые с нею связаны: инцидентные точки и/или нормаль к ней.

2. В операциях с трехмерными точками и плоскостями широко используется математический аппарат векторной алгебры, в частности, понятия скалярного и векторного произведений векторов.