Общая классификация проекций Понятие «проекция»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Отображение точки пространства размерности k в пространство размерности n при k > n. В компьютерной графике имеют дело с отображением трехмерных примитивов на двумерное пространство (плоскость проекций). Разумеется, уменьшение размерности пространства существования примитивов приводит к потере части информации о сцене. Если конкретно - в двумерной картинке нет информации о глубине расположения объектов сцены. Человеческое сознание способно частично восстанавливать эту информацию по косвенным признакам в двумерном изображении, и именно поэтому имеет такое большое значение предшествующая операция удаления невидимых граней, ребер и вершин.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ПОЛОЖЕНИЮ ЦЕНТРА ПРОЕКЦИИ
Если лучи-проекторы сходятся в центре проекции – проекция ЦЕНТРАЛЬНАЯ, если они параллельны – проекция ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ФОРМЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКЦИИ
Если поверхность, на которой строится проекция – плоскость, то проекция называется ПЛОСКОЙ. В случае неплоской поверхности (цилиндр, сфера, всякие другие криволинейные поверхности) – проекция именуется НЕПЛОСКОЙ.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ФОРМЕ ПРОЕКТОРОВ
Если линии-проекторы – прямые, то проекция называется ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ, в противном случае – НЕГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ.
ПРИМЕР НЕПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
Аттракцион в Сянгане (бывш. Гонконг). Изображение проецируется на внутренность надутой тканевой оболочки (вроде воздушного шара).
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Это наиболее частый и наиболее общий случай проецирования. Из живописи было давно замечено появление в плоском изображении некоторых особых точек, связанных с наличием на объектах сцены параллельных прямых и их расположением относительно системы координат наблюдателя. Эти особые точки назвали «точками схода», потому что прямые, которые в трехмерной сцене параллельны, имеют на двумерной плоскости проекций изображения, которые в точке схода пересекаются.
Следует ясно понимать, что появление и количество точек схода является следствием не вида и типа используемой проекции, а (повторимся!) наличием на объектах сцены параллельных прямых и их расположением относительно системы координат наблюдателя.
Дальнейшее изложение рассматривает удобный объект – прямоугольный параллелепипед, который по-разному ориентирован относительно плоскости проекций (ПП), из-за чего количество точек схода его ребер выходит разным. Везде подразумевается, что луч зрения перпендикулярен ПП.
ОДНОТОЧЕЧНАЯ ПРОЕКЦИЯ
Параллелепипед ориентирован так, что 4 его ребра параллельны лучу зрения (оси OeZe). На проекции изображения этих ребер сходятся в единственной для этого параллелепипеда точке схода. Точка схода – это точка пересечения оси OeZe с плоскостью проекций. Система координат объекта OXYZ имеет оси, параллельные СК наблюдателя.
ДВУХТОЧЕЧНАЯ ПРОЕКЦИЯ
Ось OZ СК параллелепипеда параллельна плоскости проекции ПП. Оси X и Y имеют точки пересечения с плоскостью проекции ПП. Именно эти точки на изображении являются точками схода для изображений соответствующих групп ребер параллелепипеда.
ТРЕХТОЧЕЧНАЯ ПРОЕКЦИЯ
Параллелепипед повернут так, что все три его оси координат пересекаются с плоскостью проекций. Эти точки на изображении проявляются как три точки схода:
ПРИМЕР
На рисунке видно, что разные объекты сцены имеют разное количество точек схода.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Этот вид проекций получил широкое распространение в инженерной практике, потому что он легче реализуется вручную. В силу своей традиционности параллельные проекции сохраняются во всякого рода программах автоматизированного проектирования (AutoCAD и подобные ей).
Рассмотрим, по каким признакам классифицируются параллельные проекции.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ориентации проекторов и плоскости проекций
Ортографические проекции имеют проекторы, нормальные плоскости проекции, у косоугольных проекторы составляют с ПП некоторый острый угол.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ
Ортографическая изометрическая характеризуется РАВНЫМИ углами, которые с плоскостью проекций образуют все три координатные оси, связанные с проецируемым объектом. Изображения этих осей на проекции составляют между собой равные углы 120 градусов. Изометрической («Изос» - равный, «метрика»-мера)эта проекция называется потому, что по всем трем координатным осям перспективные сокращения одинаковы (примерно 0,88).
Если проецируемый параллелепипед расположить как показано на следующем рисунке, он изобразится в так называемой ортографической диметрической проекции.
Проекция является диметрической, потому что по одной из трех координатных осей перспективное сокращение размеров на изображении получается в 2 раза больше, чем по оставшимся двум («диметрическая» - с двумя метриками).
Косоугольная проекция с углом 45 градусов («кавалье») приводит к парадоксальным изображениям: предметы выглядят вытянутыми в высоту, хотя геометрически никакой ошибки в построениях нет. Эта проекция относится к изометрическим.
Косоугольная проекция с углом arctg2 («кабинетная») свободна от недостатка проекции кавалье. Она является диметрической.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
Рассмотрим, какими формулами пользуются на практике для построения проекций точки в разных случаях.
Случай ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
ИСХОДНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ:Точка пересчитана в систему координат НАБЛЮДАТЕЛЯ (камеры)
Легко видеть (см.рисунок), что координаты точки [Xe Ye Ze] легко преобразуются в пару экранных координат за счет имеющегося априори соотношения [Xe Ye] = [Xs Ys]. То есть простым отбрасыванием координаты Ze.
Случай ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
Здесь проектор непараллелен оси Ze. Расчетная схема показана на правом рисунке:
Из этой схемы следуют простые соотношения:
Именно они используются на практике для построения проекций вершин объектов сцены.
Проекции вершин позволяют построить проекции ребер. Контуры из проекций ребер образуют проекции граней.
ИТОГИ РАЗДЕЛА
Проекции переводят описание объектов в пространство меньшей размерности. (в нашем случае из 3D в 2D).
Поэтому ПРОЕЦИРОВАНИЕ ВСЕГДА СВЯЗАНО С ПОТЕРЕЙ ЧАСТИ ИНФОРМАЦИИ!
В ПРОЕЦИРОВАНИИ ГРАФИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ участвуют: сам объект, линии-проекторы и поверхность проекций.
Классификация проекций построена на комбинировании этих объектов и их взаимного расположения.
В зависимости от вида используемой проекции результирующее изображение может получаться как «естественным» (привычного вида), так и непривычного вида (проекция кавалье), что при этом не является ошибкой.