Тема 4. Проблема существования в математике

Внутренний и внешний вопросы существования (по Р. Карнапу): существование объекта в рамках определённой математической системы и существование самой системы математических объектов.

Внутренний вопрос существования: классическое и конструктивное направления в современной математике.

Внешний вопрос как вопрос о философских основаниях математического познания: в каком смысле можно говорить о существовании математических конструктов (числа, фигуры, функции и т.п.)? Проблема существования математического объекта как частный случай философской проблемы идеального. Варианты подходов к его решению: платонизм, кантианство, номинализм, эмпиризм, материализм.

Решение проблемы на основе анализа становления понятия натурального числа в процессе развития счёта. Первый этап – установление взаимно однозначного соответствия множеств, второй – введение эталонного множества, третий – образование названий для сосчитываемых множеств и, наконец, введение графических знаков (символов) и наиболее рациональных систем таких знаков (арабская позиционная система записи чисел).

Тема 5. Философский анализ проблемы обоснования математики

Обоснование математики как философская и логико-методологическая проблема (выбор исходных абстракций, методов построения, логических средств). Проблема критериев строгости доказательства.

Философское содержание основных направлений в обосновании математики.

Теоретико-множественное обоснование математики на основе теории Г. Кантора и его кризис в связи с открытием парадоксов теории множеств. Аксиоматическая теория множеств Цермело – Френкеля.

Программа логицизма в обосновании математики (Б. Рассел, А. Уайтхед), её положительные стороны и ограниченности.

Формалистическое направление в обосновании математики (Д. Гильберт, Дж. Нейман), его вклад в формирование современного уровня строгости математического доказательства. Теоремы К. Гёделя о неполноте и непротиворечивости формальных систем и невозможность реализации программ логицизма и формализма.

Интуиционистская программа обоснования (Л. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг). Интуиция как источник математических понятий. Реформа логического аппарата. Конструктивное направление в математике (построение математики на основе понятия алгоритма).

Тема 6. Проблема истинности математического знания

Что такое математика: теория или рабочий аппарат, теория или язык для других наук? Формальная доказуемость и содержательная истинность в математике. Точность в математике и естественных науках. Истинность и точность, истинность и правильность.

Понятие истинности в аксиоматизированных теориях. Проблема истинности в формализованных системах. Метод интерпретаций. Истинность и непротиворечивость.

Критерии истинности в математике: очевидность, интуитивная ясность, простота, непротиворечивость. Специфика роли практики как критерия истины в математике.

Тема 7. Математика и научное познание

Основные тенденции в развитии современной науки: дифференциация, интеграция, математизация, компьютеризация. Р. Декарт и Г.В. Лейбниц об универсальности математического метода.

Объективная основа, сущность и условия математизации науки. Возможность и необходимость этого процесса. Метод экстраполяции, метод математической гипотезы. Метод математического моделирования, его основные этапы.

Границы применимости математических методов в частных науках.