4. Содержание курса

Тема 1. Предмет философии математики

Соотношение философии и науки в их историческом развитии (натурфилософия, позитивизм, философия как методология науки и наука как основа для философских обобщений).

Образы математики в зеркале философского знания. Материалистический подход к пониманию математики (Аристотель, Евклид, К. Гаусс, Н. И. Лоб

ачевский и др.). Идеалистическое истолкование математического знания (пифагорейцы, Платон, Р. Декарт, Г. В. Лейбниц, И. Кант, Г. Кантор, Л. Брауэр и др.). Гносеологические предпосылки обоих способов понимания математического познания, сравнительная оценка их роли в истории математики.

Диалектика и метафизика в истории математики. Кризисы в развитии математики (проблема несоизмеримости и кризис арифметики рациональных чисел в Античности, проблема бесконечно малых и «мистическое» дифференциальное исчисление, проблема актуальной бесконечности и кризис «наивной» теории множеств Г. Кантора).

Предмет философии математики: рассмотреть математику как элемент духовной культуры, выявить предпосылки её возникновения, основные этапы и закономерности исторического развития, раскрыть предмет математики в её отношении к объективному миру, её структуру и методы, роль математики в общественной практике.

Тема 2. Предмет математики

Понятия объекта и предмета науки. Предмет науки – модель её объекта, воспроизводящая некоторые существенные стороны (свойства и отношения), выявленные в процессе практического и духовного освоения данного объекта. Предмет науки на эмпирическом и теоретическом уровнях познания.

Ф. Энгельс об объекте и предмете математики. Предмет математики – система абстрактных идеализированных объектов (число, фигура, функция, уравнение, вектор, множество, структура и т.д.). Диалектика объекта и предмета математики. Эмпиризм и идеализм в математике как результат их отождествления (Л. Карно, Дж. Кемени и др.) или противопоставления (И. Кант, интуиционисты и др.).

Проблема периодизации истории математики, её логические основания. История математики как история становления её предмета и методов. Предыстория математики и её история.

Структура математики: чистая (фундаментальная) и прикладная, содержательная и формальная математика. Дисциплинарная структура математики.

Тема 3. Аксиоматический метод

Понятие умозаключения, его типы. Виды дедуктивного умозаключения. Теория дедукции и теория доказательства у Аристотеля («Аналитика первая и вторая»).

Состояние математики в догреческий период ее развития (рецептурный, несистематизированный, авторитарный, прикладной характер математического знания).

Метод содержательной аксиоматизации геометрии в «Началах» Евклида (определения, аксиомы, постулаты, теоремы). Применение этого метода в других науках (гидростатика, классическая механика, термодинамика) и в философии («Этика» Спинозы). Критика «Начал» Евклида математиками Нового времени. Создание неевклидовых геометрий Н. И. Лобачевским и Б. Риманом. Система аксиом евклидовой геометрии Д. Гильберта и Г. Вейля.

Метод полуформальной аксиоматизации Д. Гильберта. Требования к системе аксиом: непротиворечивость, независимость, полнота, их логический смысл. Полуформальные системы аксиом арифметики натуральных чисел Дж. Пеано и евклидовой геометрии Д. Гильберта.

Формальная аксиоматическая система, её элементы (символы для терминов и логических операций над ними, правила образования и преобразования формул, аксиомы). Метод формальной аксиоматизации геометрии Д. Гильберта, его ограниченность. Логический смысл требований к системе аксиом при формальном аксиоматическом методе.