Метод простой итерации Метод простых итераций
В ряде случаев весьма удобным приемом уточнения корня уравнения является метод последовательных приближений (метод итераций).
Пусть с точностью необходимо найти корень уравнения f(x)=0, принадлежащий интервалу изоляции [a,b]. Функция f(x) и ее первая производная непрерывны на этом отрезке.
Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0 должно быть приведено к виду
|
(4.2) |
В качестве начального приближения 0 выбираем любую точку интервала [a,b].
Далее итерационный процесс поиска корня строится по схеме:
|
(4.3) |
В результате итерационный процесс поиска реализуется рекуррентной формулой (4.3). Процесс поиска прекращается, как только выполняется условие
|
(4.4) |
или число итераций превысит заданное число N.
Для того, чтобы последовательность х1, х2,…, хn приближалась к искомому корню, необходимо, чтобы выполнялось условие сходимости:
|
(4.5) |
Рис. 4.6. Геометрический смысл метода
Переходим
к построению схемы алгоритма (рис.
4.7).
Вычисление функции 
оформим
в виде подпрограммы.
Основные понятия метода сеток
Идея метода конечных разностей (метода сеток) известна давно, с соответствующих трудов Эйлера. Однако практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых систем алгебраических уравнений, на решение которых требовались годы. В настоящее время, с появлением быстродействующих компьютеров, ситуация в корне изменилась. Этот метод стал удобен для практического использования и является одним из наиболее эффективных при решении различных задач математической физики.
Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что
1) на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область Аs (рис.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s ( s – шаг сетки) и являющаяся приближением данной области А;
2) заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки Аs соответствующим конечно-разностным уравнением;
3) с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Аs .
Рис.
1. Построение сеточной области
Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки Аs , т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области Аs зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области Аs наилучшим образом аппроксимировал контур области А.
Рассмотрим уравнение Лапласа
(1)
где p ( x, y ) – искомая функция, x, y – прямоугольные координаты плоской области и получим соответствующее ему конечно-разностное уравнение.
Заменим
частные производные 
и 
в
уравнении (1) конечно-разностными
отношениями:
Тогда решая уравнение (1) относительно p ( x, y ), получим:
(2)
Задав значения функции p ( x, y ) в граничных узлах контура сеточной области Аs в соответствии с граничными условиями и решая полученную систему уравнений (2) для каждого узла сетки, получим численное решение краевой задачи (1) в заданной области А.
Ясно, что число уравнений вида (2) равно количеству узлов сеточной области Аs, и чем больше узлов (т.е. чем мельче сетка), тем меньше погрешность вычислений. Однако надо помнить, что с уменьшением шага s возрастает размерность системы уравнений и следовательно, время решения. Поэтому сначала рекомендуется выполнить пробные вычисления с достаточно крупным шагом s , оценить полученную погрешность вычислений, и лишь затем перейти к более мелкой сетке во всей области или в какой-то ее част
БИЛЕТ 17_________________________________