Chast_4_3_l_28_29

292

Введем цилиндрическую систему координат. Координаты r и точки

M указаны на рис. 4.53. Ось z направлена «к нам», но от координаты z нет

зависимости характеристик поля. Поэтому будем искать поле на плоскости,

293

Найдем 0 M (возьмем точку нулевого значения потенциала в центре

круга, точку O ):

Легко видеть, что потенциал – это потенциал связанных зарядов,

возникающих на боковой поверхности цилиндра, так как

(внутри цилиндра свободные заряды отсутствуют). Связанные заряды вне

связанными зарядами на боковой поверхности цилиндра. Поскольку суммарный связанный заряд на боковой поверхности равен нулю, то потенциал на бесконечности ведет себя как потенциал линейного диполя

Условия (4.74), (4.75), (4.76), (4.78) и (4.79) составляют краевую задачу для искомого потенциала .

Запишем уравнение Лапласа, которому удовлетворяет потенциал как внутри цилиндра, так и вне его, в цилиндрической системе координат (учтем,

что от z потенциал на зависит и, следовательно, 2 0 ):

z2

Первым главным моментом метода разделения переменных является то, что решение уравнения (4.80) ищется в виде суммы функций n

(гармоник), каждая из которых удовлетворяет уравнению (4.80)

Постоянные Сn находятся из граничных условий.

Вторым главным моментом метода разделения переменных является то, что гармоники n ищутся в виде произведения функции только от r и

функции только от

Функция только от r может равняться функции только от в том и

только том случае, если каждая из этих функций равняется одной и той же константе. Итак:

Вместо одного уравнения, в котором искомая функция зависит от двух переменных, получено два уравнения, в каждом из которых искомая функция зависит от одной переменной. Таким образом, произведено разделение переменных.

Третьим главным моментом метода разделения переменных является отыскание возможных значений константы k . При этом используются условия данной конкретной задачи.

Решение исходной поставленной задачи, очевидно, должно быть периодическим по с периодом 2 . Поэтому k , как это следует из первого уравнения (4.83), должно быть:

k n2 ,

где n 0,1,2, .

Тогда решение первого уравнения (4.83) будет таким

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение. r2 1 r 2 r r 1 n2r 0.

Отсюда

296

2 n2 0,

т.е. n .

Следовательно, общее решение уравнения (4.86) будет таким

Rn r Enrn Fnr n .

Внутри цилиндра должно быть Fn 0 , так как решение должно быть ограниченным внутри цилиндра.

Вне цилиндра должно быть En 0 , так как решение не должно стремиться к бесконечности при r стремящемся к бесконечности. В связи с

выше изложенным можно записать выражения для и :

n n

n r, Cn En rn cos n ,

n r, Cn Fn r n cos n .

Обозначая Cn En через Cn , а Cn Fn через Cn , получаем:

n 0

независимой системой функций, то из равенств (4.91) и (4.92) получаем следующие уравнения для искомых постоянных:

Определитель однородной СЛАУ (4.95) не равен нулю. На самом деле

Поэтому однородная СЛАУ (4.95) имеет только нулевое решение.

Итак:

Из (4.93) получаем

С0 С0 .

Подставляя найденные константы в (4.89) и (4.90), получаем

0 E0r cos и найденные константы, получим:

координат принят равным нулю.

Проанализируем полученное решение.

1. Поле внутри цилиндра однородное. Оно направлено вдоль оси x и

равно:

Это следует из сопоставления выражения для потенциала r, (4.96) и

больше, чем до значения 2E0 .

3. Вне цилиндра потенциал возмущения r, совпадает с полем линейного диполя (рис. 4.54).

Рис. 4.54. Линейный диполь

299

Чтобы показать это, вначале найдем потенциал линейного диполя, т.е.

двух прямолинейных параллельных бесконечно длинных нитей с зарядами и на единицу длины. Расстояние l между нитями l r , где r – радиус вектор точки наблюдения M . Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве равна .

Можно записать

p2 a2 E0 .

Очевидно, поле возмущения grad внутри цилиндра будет однородным. Поэтому картина поля возмущения будет иметь примерно такой вид (рис. 4.55) (изображено поле для случая ).

Рис. 4.55. Поле Eвозм связанных зарядов, расположенных на поверхности цилиндра

300

65. Метод интегральных уравнений

Метод интегральных уравнений состоит в том, что вместо краевой

задачи для дифференциальных уравнений составляется и решается

интегральное уравнение. Интегральным уравнением называется уравнение,

содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.

В качестве искомой функции в интегральном уравнении участвует не потенциал, а, как правило, источники электростатического поля (заряды,

свободные или связанные, на границах раздела сред).

Метод интегральных уравнений, как и метод сеток, является более универсальным по сравнению с методами зеркальных отображений и разделения переменных, т.е. он применим для систем сложной геометрии.

По сравнению с методом сеток, он имеет 3 преимущества: во-первых,

размерность области, в которой ищется неизвестная функция при замене краевой задачи интегральным уравнением, как правило, уменьшается на единицу; во-вторых, область, в которой ищется неизвестная функция, как правило, ограничена (в методе сеток часто приходится область поиска неизвестной функции искусственно обрывать); в-третьих, при приближенном решении задачи операцию интегрирования можно выполнить точнее, чем операцию дифференцирования.

Рассмотрим пример составления интегрального уравнения. Пусть в диэлектрик с проницаемость вносится диэлектрик с проницаемостью ,

ограниченный замкнутой поверхностью S . В диэлектрике с проницаемостью

до внесения диэлектрика с проницаемостью существовало заданное электростатическое поле E0 (рис. 4.56).

Рис. 4.56. Диэлектрическое тело в заданном электростатическом поле

301

В качестве искомой функции возьмем поверхностную плотность связанного заряда на S или величину, пропорциональную этой плотности.

Обозначим ее через .

Запишем напряженность электрического поля в любой точке пространства, кроме точек поверхности S , в соответствии с принципом суперпозиции и законом Кулона. Предполагаем, что среда однородная во всем пространстве с проницаемостью :

Вформуле (4.99) напряженность электрического поля от источников

P , в соответствии с принципом суперпозиции, представим в виде

где E SQ – напряженность, созданная зарядами элементарной площадки

SQ .

Спроектируем левую и правую части последнего выражения на

нормаль в точке Q , то есть на nQ . Получим: