Chast_4_3_l_28_29

302

площадке SQ , то эта площадка воспринимается как равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда Q .

Если теперь в последних двух выражениях перейти к пределу при

SQ 0 , то получим:

первый этап составления интегрального уравнения.

Второй и последний этап состоит в использовании граничных условий.

Запишем первое граничное условие на S :

Dn Q Dn Q .

303

В уравнении (4.104) искомая функция содержится как под интегралом,

так и отдельным слагаемым. Такое интегральное уравнение называется интегральным уравнением второго рода. Оно может быть решено или путем сведения к СЛАУ и последующим решением СЛАУ одним из известных

методов, или методом так называемой простой итерации.

После решения интегрального уравнения (4.104), то есть после отыскания функции P , электрическое поле E M может быть найдено

по формуле (4.99).

Заметим, что полученное электрическое поле будет удовлетворять граничному условию Dn Q Dn Q на границе S , так как интегральное уравнение получено из этого условия. Легко также видеть, что если E M

ищется по формуле (4.99), то выполняется и второе граничное условие на S ,

т.е. непрерывность касательных компонент поля E .

Выполнение граничного условия на бесконечности также

обеспечивается видом поля E (4.99).

Дифференциальные уравнения для поля E также выполнены, так как

легко показать, что

как для точек M , лежащих внутри S , так и для точек M , лежащих вне S .

Вопросы и задачи к лекции 28

294-1. Для каких электростатических систем применим метод разделения переменных?

295-2. Назовите 4 главных этапа (момента) метода разделения переменных.

304

296-3. Проиллюстрируйте 4 главных этапа метода разделения переменных на примере задачи расчета поля диэлектрического цилиндра

(кругового сечения), помещенного в заданное однородное поле E0 . 297-4. Найдите потенциал диполя

298-5. Найдите потенциал линейного диполя.

299-6. Назовите преимущества метода интегральных уравнений по сравнению с другими методами.

300-7. Получите интегральное уравнение для расчета поля диэлектрического цилиндра (не обязательно кругового) с проницаемостью

, помещенного в диэлектрик с проницаемостью , в котором существовало плоскопараллельное поле E0 (поле E0 в каждой точке не зависит от координаты вдоль образующей цилиндра и перпендикулярно образующей цилиндра). Рассмотрите случай кругового цилиндра и однородного поля E0 , перпендикулярного оси цилиндра.

Лекция 29

66. Магнитное поле стационарных токов

Будем рассматривать магнитное поле стационарных (постоянных во времени) токов.

В той части пространства, где плотность тока отлична от нуля,

магнитное поле удовлетворяет уравнениям:

- дифференциальная форма:

- интегральная форма:

306

rot 1 rot A 0 .

В той части пространства, где const , с использованием калибровки

(4.108) получаем уравнение Пуассона в векторной форме:

Используя локальную декартову систему координат для точек границы раздела сред, граничные условия (4.107) для векторного потенциала можно

H grad м , м M0 0

или эквивалентным им равенством

M0

м M H dl .

M

Скалярный магнитный потенциал, как и для случая магнитного поля стационарных токов в вакууме, является неоднозначной функцией. Для получения однозначного скалярного магнитного потенциала путем введения условных перегородок область определения этого потенциала сужают. Это делается так же, как и в случае магнитного поля стационарного тока в вакууме.

307

Как следует из (4.106), скалярный магнитный потенциал в области, где он имеет смысл, удовлетворяет уравнению

части пространства скалярный магнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

Так как распределение микротоков на границах раздела сред бывает неизвестным, то для расчета магнитного поля стационарных токов в неоднородной в магнитном отношении среде может быть поставлена краевая задача.

Рассмотрим следующий пример физической задачи (рис. 4.57).

Рис.4.57. Магнетик с постоянной магнитной проницаемостью в поле витка с током

По замкнутому проводящему контуру l протекает заданный ток i .

Проводник расположен в воздухе (магнитная проницаемость 0 ). В

магнитном поле этого тока расположен магнетик с постоянной магнитной проницаемостью ( 0 ). Геометрия системы задана. Требуется найти результирующее поле H как внутри магнетика, так и вне его.

308

В качестве искомой функции выберем скалярный магнитный потенциал. Для того, чтобы он был однозначным, введем условную перегородку (рис. 4.57) в виде поверхности S1 , натянутой на контур l .

Представим результирующий скалярный магнитный потенциал в виде суммы

отсутствии магнетика, а - скалярный магнитный потенциал микротоков,

Так как внешность проводника уходит в бесконечность, то необходимо еще описать поведение поля на далеких расстояниях от системы, т.е.

записать граничное условие на бесконечности. Это условие, очевидно, будет выглядеть так

Условия (4.119), (4.120), (4.121), (4.122), (4.123) составляют краевую задачу для потенциала . Решив ее, напряженность магнитного поля может быть найдена как внутри S , так и вне S из выражения

309

H M H0 M grad M .

Потенциал м0 может быть найден следующим образом. Вначале по формуле Био-Савара-Лапласа находим поле H0 контура l с током i . Далее,

используя интегральное определение скалярного магнитного потенциала, находим м0 M :

M

где M0 - выбранная произвольно точка нулевого значения потенциала.

При вычислении интеграла (4.124) путь интегрирования не должен пересекать проводник с током и поверхность S1 (условную перегородку).

Рассчитанное по формуле (4.124) поле м0 M будет обладать свойством (рис 4.57):

м0 M2 м0 M1 i ,

т.е. скалярный магнитный потенциал на условной перегородке претерпевает скачок, равный току i контура l .

67. Теорема эквивалентности для магнитного поля стационарных

токов. Некоторые примеры решения краевых задач магнитостатики

Для магнитного поля стационарных токов (магнитостатики) так же, как и для электростатики, имеет место теорема эквивалентности.

Пусть магнитное поле создано некоторой совокупностью токов.

Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность S . Допустим, что распределение токов внутри S известно, а вне S - неизвестно (рис. 4.58).

Рис. 4.58. Иллюстрация теоремы единственности в электростатике

310

Теорема эквивалентности в магнитостатике (теорема единственности решения краевых задач магнитостатики) гласит, что информация о токах вне

S может быть заменена другой эквивалентной информацией, а именно,

описанием распределения вдоль S тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля H , либо описанием распределения вдоль

S нормальной компоненты напряженности магнитного поля Hn ( n -

внешняя нормаль).

По аналогии с электростатикой вместо H и Hn могут быть взяты

соответственно м и м .

n

Теорема эквивалентности в магнитостатике доказывается так же, как и теорема эквивалентности в электростатике.

Так как уравнения магнитостатики в основном совпадают с уравнениями электростатики (уравнения для скалярного магнитного потенциала и уравнения для электростатического потенциала), то в магнитостатике могут быть использованы все методы решения краевых задач, которые были рассмотрены в электростатике.

Для примера рассмотрим метод зеркальных отображений и метод интегральных уравнений.

Для иллюстрации метода зеркальных отображений рассмотрим следующую задачу. Пусть прямолинейный бесконечно длинный тонкий проводник с током i расположен в воздухе и находится над ферромагнитным полупространством с постоянной магнитной проницаемостью Проводник расположен параллельно плоскости границы раздела сред (рис.

4.59).

Рис. 4.59. Прямолинейный проводник с током над магнетиком с

311

На рис. 4.59 изображено сечение плоскостью, перпендикулярной проводнику.

Как было показано ранее, силовые линии поля H (или B ) подходят из воздуха под прямым углом к магнетику с . Следовательно, на плоскости S , являющейся границей объема V , составляющая H задана и она равна H 0 .

Сохраним величину и расположение тока в объеме V , а вместо ферромагнетика возьмем второй ток на месте ферромагнетика, величину и место расположения которого возьмем таким, чтобы сохранилось условие на

S ( H 0 ). Среду во всем пространстве в магнитном отношении будем считать однородной и такой же, как и в объеме V , т.е. с магнитной проницаемостью равной 0 . Получаем следующую эквивалентную задачу

(рис. 4.60).

Рис. 4.60. Эквивалентная задача задаче о прямолинейном проводнике с током над магнетиком с

В этой эквивалентной задаче сохранилось распределение токов в объеме V . Сохранилось также условие на границе S объема V ( H 0 ). По теореме эквивалентности магнитное поле в объеме V эквивалентной задачи

(в верхнем полупространстве) будет таким же, как и в объеме V (верхнем полупространстве) исходной задачи.

Таким образом, обоснованием метода зеркальных отображений, как и в электростатике, является теорема эквивалентности.

Ток, который размещен в нижнем полупространстве (фиктивный ток),

такой же, как и исходный ток, только он расположен зеркально по