Производная
Определение:
Производной
функции
в точкех
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю
.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции; функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой в данной точке.
Эквивалентные обозначения производной:
.
Основные правила дифференцирования:
1.
.
2.
3.
4.
5.
Таблица производных:
1.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
Пример. Найти
производную функции
.
Решение:
.
Пример.
Найти производную функции
Решение:
Пример.
Найти производную функции
.
Решение:
.
Пример.
Найти
производную функции
.
Решение:
Пример.
Найти
производную функции
Решение:
Пример.
Найти
производную функции
.
Решение:
Пример.
Найти
производную функции
.
Решение:
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция от функции.
В
записи
x
называется независимой переменной,
u – промежуточным аргументом; u(x) – внутренняя функция;
f – внешняя функция.
Производная сложной функции равна производной от внешней функции по промежуточному аргументу, помноженной на производную внутренней функции:
.
Таблица производных для сложных функций:
1.
. 1.1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
Во всех формулах u является некоторой функцией от х.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение:
Данная
функция является сложной. Её можно
представить в виде цепочки «простых»
функций
,
где
.
По правилу дифференцирования сложной
функции получаем:
Пример.
Найти
производную функции
Решение:
Пример.
Найти производную функции
.
Решение:
.
Пример.
Найти производную функции
Решение:
Пример.
Найти производную функции
.
Решение:
Пример.
Найти производную функции
Решение:
Пример.
Найти производную функции
Решение:
Пример.
Найти производную функции
Решение:
Пример.
Найти производную функции
Решение:
=
Задачи для самостоятельной работы
1–50. Вычислить производные от заданных функций:
Указание: Студентам не рекомендуется увлекаться упрощением выражений, полученных в результате дифференцирования, так как основная цель этой главы заключается в освоении техники дифференцирования, а не в проверке умения производить тождественные преобразования.
1)
. 2)
.
3)
. 4)
.
5)
. 6)
.
7)
. 8)
.
9)
. 10)
.
11)
. 12)
.
13)
. 14)
.
15)
. 16)
.
17)
. 18)
.
19)
. 20)
.
21)
. 22)
.
23)
. 24)
.
25)
. 26)
.
27)
. 28)
.
29)
. 30)
.
31)
. 32)
.
33)
. 34)
.
35)
. 36)
.
37)
. 38)
.
39)
. 40)
.
41)
. 42)
.
43)
. 44)
.
45)
. 46)
.
47)
. .48)
.
49)
. 50)
.
Неопределенный интеграл
Определение:
Неопределенным интегралом
называется функция
,
содержащая произвольное постоянноеС,
дифференциал
которой равен
подынтегральному выражению
,
т.е
,
если
.
Основные свойства неопределенного интеграла
1.
.
2.
.
3.
.
Таблица основных интегралов
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.
Примеры: Найти интегралы:
1)
;
2)
.
Решение: 1) Разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
.
2) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
=
=
.
Интегрирование
подстановкой (заменой переменной). Пусть
требуется вычислить
интеграл
,
который не является табличным. Суть
метода подстановки состоит в том, что
в интеграле
переменнуюх
заменяют
переменной t
по формуле
,
откуда
.
Пример. Найти
интеграл
Решение:
При
нахождении этого интеграла записи самой
подстановки можно не производить. Здесь
достаточно принять во внимание, что
.
Таким образом,
Пример. Найти
интеграл
Решение:
или заметим, что
,
тогда
Пример. Найти
интеграл
Решение:
или заметим, что
,
тогда
Пример.
Найти интеграл
Решение:
или заметим, что
,
тогда
Пример. Найти
интеграл
Решение:
или заметим, что
,
тогда
Пример. Найти
интеграл
Решение:
или заметим, что
,
тогда
Пример.
Найти интеграл
Решение:
или заметим, что
,
тогда
