- •Производная
- •Производная сложной функции
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям: .
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям: .
Приведем наиболее часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.
Интегралы вида ,
,
,
Где - многочлен степениn, k – некоторое число. Чтобы найти
эти интегралы, достаточно обозначить и применить формулы интегрирования по частямn раз.
Интегралы вида ,
,
,
,
,
где - многочлен степениn, k – некоторое число. Их можно найти по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при .
Пример. Найти интеграл .
Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим x и так как х – многочлен первой степени, то формулу интегрирования по частям будем применять один раз.
Пример. Найти интеграл
Решение: Данный интеграл относится к первому типу интегралов, за u обозначим и так как –многочлен второй степени, то формулу интегрирования по частям будем применять два раза.
Пример. Найти интеграл
Решение: Данный интеграл относится ко второму типу интегралов, за u обозначим .
Пример. Найти интеграл
Решение: Данный интеграл относится к второму типу интегралов за u обозначим .
Задачи для самостоятельной работы
1) – 40) Найти интегралы:
1) . 2) .
3) . 4).
5). 6) .
7) . 8).
9) . 10)
11) . 12) .13) .
14) . 15). 16).
17) . 18) . 19)
20) 21) 22)
23) 24) 25)
26) . 27) 28)
29) 30) 31)
32) 33)34)
35) 36)37).
38) 39)40)
Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения
Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающие независимую переменную х, искомую функцию и ее производные.
Символически дифференциальное уравнение можно записать так:
или .
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, уравнение есть уравнение первого порядка, а уравнениеесть уравнение второго порядка.
Определение: Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. Каждый интеграл определит на плоскостихОу кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(1).
Решив уравнение (1) относительно , если это возможно, получим:
(2).
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постояннуюС и удовлетворяющая условиям:
Функция является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значенииС.
Каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решенияпри конкретном значении постоянной.
С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых плоскостиОху; частное решение - одна кривая этого семейства, проходящая через точку.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2).
Теорема (Коши). Если в уравнении функцияи ее частная производнаянепрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей точку, то существует единственное решениеэтого уравнения, удовлетворяющее условию.
Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку .