- •Производная
- •Производная сложной функции
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям: .
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Определение: Уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Решение: .
Разделив обе части на , получим:
.
Проинтегрировав, обе части уравнения, получим:
.
Пример. Найти общий интеграл уравнения: .
Решение: ,
,
Разделим обе части уравнения на , получим:
,
проинтегрируем обе части
,
Ответ: .
Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение: Функция называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на, т е.
Например, функция есть однородная функция четвертого порядка, поскольку
Определение: Дифференциальное уравнение
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Это уравнение приводится к виду , и решается подстановкой или и.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме
,
где и- однородные функции одинакового порядка.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции и- однородные функции второго порядка.
Положим ,тогда . Подставляем в исходное уравнение:
,
,
,
.
Разделим, и левую, и правую стороны на , получаем:
,
отсюда, интегрируя, находим
,
,
.
Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения:
,
Ответ: .
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде:
, (3).
где и- заданные функции или постоянные.
Будем искать решение в виде произведения двух функций, зависящих от х, т.е.
,
где одна из функций произвольная, другую мы определяем.
.
Подставляем ив уравнение (3), получаем:
,
, (4).
выберем функцию u такой, чтобы .
,
,
интегрируя, получаем
.
Подставляя найденную функцию u в уравнение (4), получаем
,
,
.
Возвращаясь к переменной у, получаем решение исходного уравнения (3)
.
Пример. Решить уравнение: .
Решение: Полагаем , тогда
,
.
Для определения u решаем уравнение
,
,
откуда
,
.
Подставляя u в уравнение , получаем для определенияv уравнение
,
или
,
откуда
.
Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид
.
Ответ: .
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнение вида решается последовательнымn-кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.
Пример. Решить уравнение .
Решение: ,
,
.
Ответ: .
Уравнение , не содержащееу в явной форме, подстановкой приводится к виду
.
Уравнение , не содержащеех в явной форме, подстановкой приводится к виду
.
Задачи для самостоятельной работы
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .