Chast_2_3_l_9-12

96

Рис. 2.49. К определению момента времени , в который происходит возмущение в точке P , приходящее в точку M в момент времени t

Из этого графика видно, что возмущения, происшедшие в точке P* в

другие моменты времени, не придут в точку М в момент времени t, так как график c rP* M один раз пересекает горизонталь ct .

Но в точку М в момент времени t придут возмущения из других точек объема V , только происшедшие в моменты времени, отличные от * . Так, для

точки P1 , чтобы возмущение, происшедшее в ней в некоторый момент времени 1 , пришло в точку М в момент времени t, должно выполняться равенство

* , придет в точку М в момент времени t.

Аналогично возмущение из точки P2 , происшедшее в момент времени 2 ,

придет в точку М в момент времени t. При этом 2 находим из выражения

Рис. 2.50. Различные положения точечного заряда

97

Из рис. 2.50 мы видим, что возмущение в точку М в момент времени t

придет из всех точек объема V , длина которого l , а площадь сечения такая

Далее из формулы для запаздывающего скалярного потенциала (2.89):

98

Чтобы получить выражение для векторного потенциала учтем, что

P, v . Тогда исходя из формулы для векторного запаздывающего потенциала (2.93), можно записать

Формулы (2.98) и (2.99) являются электродинамическими потенциалами произвольно движущегося точечного заряда. Их называют потенциалами Лиенара-Вихерта.

Между A M ,t и M ,t , как легко видеть, существует связь:

22. Электростатическое поле. Уравнения Пуассона и Лапласа

Электростатическое поле - это электрическое поле неподвижных зарядов.

Оно описывается уравнениями:

Или в интегральной форме:

100

Рис. 2.51. К выводу определения электростатического потенциала в форме интеграла из дифференциальной формы

Здесь использовано выражение (2.103). Далее:

Здесь использовано равенство (2.104). Тем самым получено определение

(2.105).

Получим теперь из (2.105) определение (2.103), (2.104). Тем самым будет доказана эквивалентность определений (2.103), (2.104) и (2.105). Из (2.105)

(рис. 2.52):

M0

M1 E dl .

M1

Рис. 2.52. К выводу определения электростатического потенциала в дифференциальной форме из интегральной формы

101

Вычитая из первого равенства второе, получим:

M1

M M1 E dl .

M

Или:

M M1 E dl Edl dl .

Отсюда

Edl M1 M . dl l

Поскольку dl произвольное направление, то отсюда следует, что E grad ,

т.е. следует (2.103).

Т.е. в общем случае электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона.

23. Потенциал и напряженность электрического поля неподвижных

зарядов, находящихся в ограниченном объеме

Пусть заряды распределены в ограниченном объеме V с заданной плотностью P . Потенциал в этом случае удовлетворяет следующим уравнениям:

в V,0

0 вне V.

Найдем решение этой системы уравнений косвенным путем. Вначале найдем потенциал точечного заряда q при выборе точки нулевого значения потенциала M0 на бесконечности (рис. 2.53).

Рис. 2.53. К выводу выражения для потенциала точечного заряда

результат и принцип суперпозиции, находим:

103

Рис. 2.54. Объем с заданным распределением плотности заряда

К такому же результату можно прийти, используя скалярный запаздывающий потенциал (2.89), если в нем положить, что не зависит от времени.

Используя выражение для напряженности электрического поля точечного заряда и принцип суперпозиции, получим выражение для напряженности поля зарядов, находящихся в объеме V:

Эту же формулу можно получить путем взятия градиента со знаком минус от выражения (2.108).

Вопросы и задачи к лекции 9

109-1. Выведите выражение для скалярного потенциала произвольно движущегося точечного заряда. Каким будет это выражение при v c и при v 0?

110-2. Выведите выражение для векторного потенциала произвольно движущегося точечного заряда. Каким будет это выражение при v c и при v 0?

111-3. Запишите выражение, связывающее векторный и скалярный потенциалы произвольно движущегося точечного заряда.

112-4. Используя формулы для потенциалов Лиенара-Вихерта, найдите скалярный и векторный потенциалы в центре окружности, по которой движется

104

точечный заряд q с постоянной угловой скоростью (рис. 2.55). Радиус окружности R . В момент времени 0 заряд находился в точке M0 .

Рис. 2.55. К определению потенциалов Лиенара-Вихерта точечного заряда равномерно движущегося по окружности

113-5. Точечный заряд движется равномерно и прямолинейно вдоль оси х

(рис. 2.56). Используя потенциалы Лиенара-Вихерта, найдите скалярный и

векторный потенциалы в точке M в момент времени t cx .

Рис. 2.56. К определению потенциалов Лиенара-Вихерта равномерно движущегося точечного заряда

114-6. Докажите эквивалентность двух определений электростатического

M

115-7. Выведите из формулы для запаздывающего скалярного потенциала формулу для электростатического объемного потенциала.

116-8. В объеме V распределены заряды с плотностью M . Вне V

заряды отсутствуют (рис. 2.57). Запишите дифференциальные уравнения для электростатического потенциала внутри и вне объема V.

105

Рис. 2.57. К записи дифференциальных уравнений для электростатического потенциала в различных областях

117-9. Используя выражение для напряженности электрического поля точечного заряда и принцип суперпозиции, получите выражение для напряженности электрического поля зарядов, находящихся в объеме V (см задачу 116-8).

118-10. Стержень длиной 2а равномерно заряжен (рис. 2.58). Заряд на единицу длины равен τ. Найдите напряженность электрического поля в точках

M и M1 . К каким значениям будут стремиться эти напряженности при à .

В случае à найдите напряженности в точках M и M1 с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме. Сравните эти значения с предельными.

Рис. 2.58. Равномерно заряженный стержень конечной длины

Лекция 10

24а. Разложение потенциала электрического поля по мультиполям.

Первый и второй члены разложения

Пусть электростатическое поле создается совокупностью неподвижных точечных зарядов (рис. 2.59). Расположение этих зарядов таково, что они размещаются в ограниченном объеме V .

Рис. 2.59. К разложению потенциала электростатического поля системы точечных зарядов по мультиполям