Chast_2_3_l_9-12
.pdf116
130-12. Найдите выражение для напряженности электрического поля,
обусловленной третьим членом разложения для системы зарядов, обладающих осевой симметрией (в системе координат, совпадающей с главными осями).
Лекция 11
25. Энергия системы зарядов, расположенных во внешнем поле
Пусть система неподвижных точечных зарядов расположена во внешнем электростатическом поле E (рис. 2.66).
Рис. 2.66. К определению энергии системы зарядов расположенных во внешнем поле
Возьмем точку М где-либо в области расположения зарядов. Mi – точка расположения заряда qi . Mi – потенциал внешнего поля E в точке Mi при выборе точки нулевого значения потенциала M0 на бесконечности, т.е.
M0
Mi Edl .
Mi
Тогда qi Mi – потенциальная энергия i -го заряда во внешнем поле.
Действительно, потенциальная энергия i -го заряда равна работе сторонних сил по переносу заряда qi из бесконечности в точку Mi
Mi
Wi Fстор dl .
M0
Но Fстор qi E . Поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
|
|
|
|
|
|
Mi |
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mi . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Wi |
qi |
E |
|
dl |
qi |
E dl |
qi |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
Mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Потенциальная энергия всей системы зарядов равна: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wi qi Mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.120) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка М имеет координаты x , |
y , |
z , |
а точка Mi - x xi , |
y yi , z zi , где |
|||||||||||||||||||||||||||||
xi , yi , zi |
- проекции радиус-вектора ri |
|
|
точки |
Mi при выборе начала этого |
||||||||||||||||||||||||||||
вектора в точке M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разложим |
потенциал |
|
Mi x xi ,y yi ,z zi |
в |
ряд |
Тейлора в |
|||||||||||||||||||||||||||
окрестности точки M , т.е. точки x , |
y , z : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
M |
|
M |
x |
|
M y |
M |
z |
|
M |
1 |
x2 2 M |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
i x |
|
|
i |
y |
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
i x2 |
|
||||||||||||
|
1 |
y2 2 |
M |
|
1 |
z2 2 M x y |
|
|
2 |
M |
x z |
2 |
M |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
i y2 |
|
|
2 i z2 |
i i x y |
|
|
i i x z |
|
|
||||||||||||||||||||||
yi zi |
2 |
M |
|
M ri |
grad M |
1 |
xi xi |
|
2 |
M |
|||||||||||||||||||||||
y z |
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь: , 1,2,3 ; xi1 |
xi ; xi2 |
yi ; xi3 zi ; x1 x ; x2 |
y ; x3 z . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя это разложение для потенциала Mi |
в (2.120), получим |
следующее выражение для потенциальной энергии системы точечных зарядов:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
W M q grad M q r |
q |
|
|
|
|
M x |
|
x |
|
ri |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
i |
i |
|
i i |
2 |
i |
, x x |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
3 |
|
, |
|
||||||||||
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
... M q grad M p |
|
|
|
|
M q |
x |
x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
2 , x x |
|
i |
i |
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M qi |
|
M p |
1 |
D , |
2 |
|
M |
|
E |
|
|||||||
2 |
x x |
|||||||
i |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M qi |
|
M p |
1 |
D , |
2 |
|
M W |
. |
(2.121) |
|
E |
|||||||||||
2 |
x x |
|
|||||||||
|
i |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Здесь для каждого i вычитается равное нулю выражение
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||
qi |
|
|
M |
ri |
, |
qi ri |
|
2 |
M |
2 |
M |
2 |
M , |
|
|
|
|
||||||||||
2 , x x |
3 |
6 |
|
x |
|
y |
|
z |
|
так как потенциал внешнего поля – гармоническая функция (удовлетворяет уравнению Лапласа) в точке M (заряды, создающие внешнее поле, находятся вне рассматриваемой системы зарядов).
В (2.121) p qi ri – дипольный момент системы зарядов относительно
i
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
точки М, |
D |
q x |
x |
|
ri |
|
– тензор квадрупольного момента |
|
|
||||||||
|
, |
i |
i |
i |
3 |
, |
||
|
|
i |
|
|
|
|
системы зарядов также относительно точки M . |
|
|||||
При рассмотрении только двух членов: |
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
W M qi |
|
M p |
|
||
E |
(2.122) |
|||||
|
|
i |
|
|
||
Найдем силу, действующую на систему зарядов со стороны внешнего |
||||||
поля. x -овая компонента силы: |
|
|
|
|
|
|
|
F W . |
(2.123) |
||||
|
x |
x |
|
|||
|
|
|
||||
В этом выражении на x смещается вся система зарядов вместе с точкой |
M . Величины p и D остаются при этом неизменными. Знак «минус» в
(2.123) свидетельствует о том, что сила направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.
Обобщая (2.123), можно записать:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F grad W |
qi grad M grad E M p |
|||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119 |
|
|
|
|
|
M qi grad Ex px Ey py Ez pz . |
|
|||||||||||||||
E |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
E |
E |
|
||||||||||
|
F E M qi |
|
|||||||||||||||||||
|
ex p |
|
|
|
ey p |
|
|
|
ez p |
|
|
|
. |
(2.124) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
Здесь взяты два члена разложения.
Из последнего выражения для силы следует, что, если полный заряд системы равен нулю, то сила определяется производными поля E , взятыми в
точке M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полный |
момент |
(относительно |
точки |
M ), |
действующих |
на систему |
|||||||||||||||||||||
зарядов сил, равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
p |
|
M |
||||
K |
|
r ,q E M |
|
|
q r ,E M |
q r ,E |
E |
||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
i |
|
|
i i |
|
|
i i |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
p E M |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.125) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
полный |
момент |
определяется самой напряженностью |
электрического поля в точке M .
Рассмотрим для примера две системы. В каждой суммарный заряд равен
нулю. p 1 и p 2 – дипольные моменты систем.
Рассмотрим вторую систему, находящуюся в поле первой системы:
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
E1 M p2 , |
|
|
|
|
(2.126) |
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 p1 |
|
|
|
p1 R2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
R |
R |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
E1 |
. |
|
|
|
(2.127) |
|||||||||||||||||
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Здесь R – вектор расстояния между системами, направленный |
от первой |
|||||||||||||||||||||||
системы ко второй. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (2.127) в (2.126), получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 p1 p2 R2 3 p1 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
W |
|
R |
R |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
|
120
Из последнего выражения для потенциальной энергии следует, что направление вектора расстояния R в этом выражении можно изменить на противоположное и результат от этого не изменится.
Для случая, когда суммарный заряд у первой системы отличен от нуля:
E1 q1 R , 4 0 R3
W q1 Rp2 . 4 0 R3
В этом выражении для потенциальной энергии направление вектора R
(от первой системы ко второй) нельзя изменить на противоположное без изменения правильности результата.
26. Магнитное поле стационарного тока. Дифференциальные уравнения для векторного потенциала магнитного поля стационарного тока. Формула Био-Савара-Лапласа
Рассмотрим магнитное поле постоянного во времени (стационарного)
тока (рис. 2.67). Предположим, что распределение плотности тока P внутри проводника, занимающего ограниченный объем V , известно.
Рис. 2.67. Система постоянных во времени токов
Уравнения Максвелла, описывающие данное магнитное поле:
|
|
|
|
|
|
|
в V ; rot |
|
0 вне V ; |
|
||
rot |
B |
|
0 |
|
B |
|
||||||
div |
|
0 |
в V ; div |
|
0 вне V . |
|
||||||
B |
B |
(2.128) |
Интегральная форма этих уравнений
121
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bdl |
0 |
dS ; |
|||||||
l |
S |
BdS 0 .
S
Вводим векторный потенциал, как и в общем случае переменного во времени электромагнитного поля, равенством:
|
|
|
|
|
|
. |
(2.129) |
||
|
|
rot |
A |
B |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Векторный потенциал - это такое векторное поле |
A , ротор которого равен |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
индукции магнитного поля B . |
|
|
|
При введении векторного потенциала таким равенством вторые уравнения (2.128), т.е. div B 0 , удовлетворяются тождественно.
Как отмечалось ранее, определение векторного потенциала равенством
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2.129) допускает его неоднозначность. Так, |
если A |
является векторным |
||||||||
потенциалом, |
т.е. |
выполняется равенство |
(2.129), |
то векторное |
поле |
|||||
|
|
|
|
|
где |
f , вообще говоря, произвольное скалярное поле, |
также |
|||
|
|
|
||||||||
A A grad f , |
является векторным потенциалом.
В связи с этим на векторный потенциал можно наложить дополнительное условие (условие калибровки). В случае магнитного поля стационарного тока
такое условие целесообразно, как это будет понятно ниже, взять таким:
div |
|
0 |
. |
|
A |
(2.130) |
|||
|
|
|
|
|
Покажем, что условие (2.130) может быть наложено на векторный потенциал. Другими словами, из всего множества векторных потенциалов
найдется такой векторный потенциал, для которого выполнено условие (2.130).
|
|
Действительно пусть поле |
|
|
|
является векторным потенциалом |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ), но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( rot A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div A F 0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad f . Скалярную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Организуем новый векторный потенциал A A |
122
f попытаемся найти из условия, чтобы новый векторный потенциал удовлетворял калибровке (2.130). Тогда получим:
f F ,
т.е. функция f должна удовлетворять уравнению Пуассона. Но, как известно,
уравнение Пуассона имеет решение при любой правой части F . Тем самым доказано, что найдется векторный потенциал A , удовлетворяющий условию калибровки (2.130).
Заметим, что условие калибровки (2.130) следует из условия калибровки Лоренца (2.79), если в последнем учесть, что электромагнитное поле не изменяется во времени.
Если теперь подставить в первые уравнения (2.128) вместо B его выражение из (2.129), то получим:
rot rot A 0 в V ; rot rot A 0 вне V .
Или (1.30):
A grad div A 0 âV ; A grad div A 0 вне V .
Подставляя сюда условие калибровки (2.130), окончательно получаем:
|
|
|
0 |
в V ; |
|
0 вне V |
. |
|
|||||
A |
A |
(2.131) |
|||||||||||
Решение уравнений (2.131) найдем косвенным путем, используя |
|||||||||||||
аналогию с электростатическим полем зарядов, |
распределенных в объеме V с |
||||||||||||
плотностью P . Мы имели: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
в V ; |
0 внеV . |
||||||||||
|
|
||||||||||||
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением этой системы уравнений является формула (2.108):
M |
1 |
|
P dVP |
. |
|
|
|||
|
4 0 V |
rPM |
Для магнитного поля стационарного тока
Ax 0 x в V ; Ax 0 вне V .
Поэтому, по аналогии с электростатикой:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
Ax M |
0 |
|
|
|
|
x P dVP |
. |
(2.132) |
|||||
4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
||||
Для других проекций векторного потенциала, очевидно, будут |
|||||||||||||
справедливы выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ay M |
0 |
|
|
|
|
|
y P dVP |
. |
(2.133) |
||||
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
||||
Az M |
|
0 |
|
|
|
|
z P dVP |
. |
(2.134) |
||||
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
||||
Умножая левые и правые |
|
|
части выражений |
(2.132), (2.133), (2.134) |
соответственно на орты ex , ey , ez и складывая получившиеся выражения,
будем иметь:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
P dVP |
|
|
|
|
A M |
|
|
. |
(2.135) |
||||||
4 |
|
|
r |
|
||||||
|
|
|
|
V |
|
|
PM |
|
|
|
Это выражение называется формулой объемного векторного потенциала.
Найдем индукцию магнитного поля:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
P |
|
|||||
B M rot A M |
rot |
dVP . |
(2.136) |
|||||||||
4 |
|
rPM |
||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
Вычислим ротор, стоящий под знаком интеграла:
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
ey |
|
|
ez |
|||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
rPM |
|
rPM |
|
rPM |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
ex |
z |
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
y rPM |
|
z rPM |
|
|
|
|
|
1 |
|
ey |
x |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
z rPM |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
grad |
||||||
|
||||||
|
|
|
|
|
rPM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
z |
|
|
1 |
|
|
ez |
y |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
rPM |
|
|
|
|
|
x rPM |
|
|
|
y rPM |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
P |
r |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
PM rPM rPM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
(2.137)
Подставляя (2.137) в (2.136), получаем окончательно:
|
|
|
|
|
|
|
P r |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
B M |
|
|
|
PM |
dVP |
. |
||||
4 |
|
|
r3 |
|
||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124
(2.138)
Эта формула называется формулой Био-Савара-Лапласа. Она позволяет по заданному распределению плотности тока P в объеме V рассчитать магнитное поле в точке M .
Если ток протекает по тонкому проводнику (рис. 2.68), то: dVp SP dlp ;
P dVp P SP dlp dlP dlp SP idlp .
Рис. 2.68. К выводу формулы Био-Савара-Лапласа для случая, когда ток протекает по тонкому проводнику
|
В этих формулах SP – площадь сечения проводника в окрестности точки |
|||||||||||||||||
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
Р, |
– проекция плотности тока |
|
на направление |
dlp . Подставляя |
||||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
P dVp |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
последнее выражение для |
в (2.138), получаем: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0i |
dlP rPM |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B M 4 |
|
|
|
|
. |
(2.139) |
|||||||||
|
|
|
r3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. Скалярный магнитный потенциал
Условием введения скалярного электростатического потенциала является rot E 0. (2.140)
При выполнении этого условия напряженность E представима в виде
125
E grad .
Для рассматриваемого магнитного поля стационарного тока условие,
подобное (2.140), выполнено только вне проводника с током:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
вне V , |
(2.141) |
|
|
|
|
|
|
|
rotH |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divH |
вне V . |
(2.142) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B |
. |
|
|
|
|
|||||
Здесь H |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
Поэтому скалярный магнитный потенциал м |
можно ввести только в |
||||||||||||
области вне проводников с токами: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
grad м вне V. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
H |
(2.143) |
||||||
Как и в случае электростатики, это равенство необходимо дополнить |
|||||||||||||
условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
м M0 0 , |
(2.144) |
а также можно показать, что определение скалярного магнитного потенциала
(2.143), (2.144) эквивалентно определению
M0 |
|
|
|||||
м M |
|
|
|
|
|
|
|
H dl |
. |
(2.145) |
|||||
M |
|
|
|
|
|
|
|
Однако в случае магнитного поля определение (2.145) или эквивалентное последнему (2.143), (2.144) не определяет однозначный скалярный магнитный потенциал. Убедимся в этом на конкретном простом примере (рис. 2.69):
Рис. 2.69. К доказательству неоднозначности скалярного магнитного
потенциала
м M |
|
|
|
|
|
H |
dl , |
Mm M0