Chast_2_2_l_6-8

66

Умножим скалярно левую и правую части первого уравнения на E , а

вторую - на H и вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

Преобразуем слагаемые правой части (2.55).

Обозначим через p импульс частиц находящихся в единице объема, т.е.

p p V ,

V

где p V – импульс частиц, находящихся в данный момент в физически бесконечно малом объеме V . Тогда, в соответствии с (2.13), можно записать:

т.е. как следует из (2.57) и последнего равенства,

67

Здесь m0 – масса частиц, находящихся в единице объема.

В общем случае (при больших скоростях движения частиц)

т.е. v w – общее определение скорости. Выведем его.

p

Запишем формулы, которые будут выведены в третьей части лекций:

правую часть (2.58), что будет справедливо как для малых, так и для больших скоростей движения частиц.

Преобразуем теперь второе и третье слагаемые в правой части (2.55). А

именно, покажем, что второе слагаемое представляет собой производную по времени от плотности энергии электрического поля, а третье – производную по

времени от плотности энергии магнитного поля.

Второе слагаемое можно преобразовать так:

Для этого рассмотрим процесс зарядки плоского конденсатора (рис. 2.39).

Рис. 2.39. Включение плоского конденсатора на постоянную во времени э.д.с

После замыкания рубильника по цепи пойдет ток. Пусть за время dt через

поперечное сечение проводника проходит заряд dq . Не трудно понять, что за

это время dt с правой на левую пластину перейдет тот же заряд dq , т.е. в поле зарядов q t и q t за это время пройдет заряд dq . Поэтому работа источника

э.д.с. e против сил поля по переносу заряда dq за время dt с правой пластины на левую равна u dq . A работа источника по переносу полного заряда Q с

правой пластины на левую равна:

A Q2 . 2C

69

Заменяя одно из Q в этой формуле на CU , где U - напряжение между пластинами конденсатора при его полной зарядке, получим

A QU2 .

Эта работа источника по переносу заряда, как естественно положить,

пошла на увеличение энергии электрического поля, которое сосредоточено между пластинами конденсатора, т.е.

теоремы Гаусса в интегральной форме, принципа суперпозиции и

предположения об однородности поля E , что тем более справедливо, чем лучше выполняется неравенство d S ).

Тем самым доказана справедливость выражения для плотности энергии

электрического поля wэ (2.60).

Аналогично тому, как было преобразовано второе слагаемое правой части

(2.55), можно преобразовать третье слагаемое

магнитного поля wм :

Для этого рассмотрим процесс установления тока в тороидальной катушке, подключаемой к источнику э.д.с. e (рис. 2.40). При включении рубильника по цепи потечет ток. Увеличению этого тока будут препятствовать сторонние силы, возникающие по закону электромагнитной индукции за счет увеличения магнитного потока, которое происходит, в свою очередь, за счет увеличения тока.

Рис. 2.40. Включение тороидальной катушки на постоянную во времени э.д.с.

Пусть за время dt через поперечное сечение проводника проходит заряд dq . Не трудно понять, что за время dt проходит такой же заряд dq в области сторонних сил, действующих во всех точках замкнутого контура, проходящего

где - магнитный поток, пронизывающий поверхность, натянутую на данный сложный контур l , проходящий внутри витков катушки. Очевидно

n ,

где n – число витков, - магнитный поток сквозь сечение тора S . Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на данный сложный контур,

называется потокосцеплением. Знак «плюс» в законе электромагнитной индукции (2.64) стоит потому, что направление вычисления циркуляции ( dl ) и

71

направление вычисления потокосцепления (стрелка потока на рис. 2.40)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью катушки.

Теперь для полной работы A можно получить выражение

Подставляя сюда вместо одного из кон в числителе LI , получим:

A I кон .

2

Естественно положить, что эта работа источника э.д.с. идет на увеличение энергии магнитного поля до значения Wм . Магнитное поле сосредоточено внутри тороидальной катушки. Можно записать:

Wм I 2кон .

72

Для получения выражения для плотности энергии магнитного поля wм

необходимо Wм разделить на объем пространства внутри катушки:

поля.

Тем самым доказано выражение (2.63) для плотности энергии магнитного поля wм .

Теперь, используя (2.59) и (2.62), выражения для плотностей энергии электрического и магнитного поля (2.60) и (2.63), а также (2.56) и (2.58), из

(2.55) получаем:

Проинтегрируем это выражение по объему V , взятому в пространстве,

где имеются движущиеся заряженные частицы и электромагнитное поле,

созданное ими:

73

Слагаемые правой части последнего равенства имеют следующий смысл:

этой связи величину, стоящую слева последнего равенства, естественно

Модуль этого вектора равен потоку энергии сквозь единичную площадку,

перпендикулярную направлению распространения энергии, а направлен этот

Это и есть закон сохранения энергии в электродинамике. Он еще называется теоремой Умова-Пойнтинга в интегральной форме.

Если в (2.65) вместо E H подставить П , то получим теорему Умова-

Пойнтинга в дифференциальной форме:

Если рассматривается электромагнитное поле полностью или частично в проводнике, по которому течет ток, то тогда первое слагаемое в правой части

(2.55) оставляем без преобразования. Тогда теорема Умова-Пойнтинга в

74

дифференциальной и интегральной формах соответственно будут выглядеть так:

Произведение E внутри проводника в соответствии с законом Джоуля-

Ленца представляет собой удельные потери на тепло в единицу времени, а

интеграл E dV – потери на тепло в объеме V в единицу времени.

V

Проиллюстрируем теорему Умова-Пойнтинга (2.71) на примере передачи энергии по двухпроводной линии постоянного тока (рис. 2.41).

Рис. 2.41. Передача энергии по двухпроводной линии постоянного тока

проводимость), а плотность тока , очевидно, направлена вдоль оси провода.

Вектор H в этой точке, очевидно, направлен «от нас». Т.е. вектор Пойнтинга в точке М1 направлен строго к оси провода. Энергия «течет» к оси провода и расходуется на тепловые потери в центральной части провода. В точках внутри провода вектор Пойнтинга не имеет составляющей, направленной вдоль оси провода, т.е. внутри провода энергия не «течет» в направлении нагрузки.

Если же взять точку М2 между проводами в том же сечении, то, очевидно,

вектор H2 в ней будет направлен также «от нас». Силовые линии поля E