Chast_2_2_l_6-8

77

Пкол 12 Re E H e2 j t ,

который представляет собой колеблющуюся составляющую вектора Пойнтинга. Следует иметь в виду, что

1 Т

Пкол ср Т 0 Пкол dt 0 .

Часто вводят комплексный вектор Пойнтинга

комплексный вектор Пойнтинга оказывается мнимым, то это значит, что рассматриваемое электромагнитное поле в среднем за период не переносит мощности. Принято говорить, что чисто мнимому значению комплексного вектора Пойнтинга отвечает перенос электромагнитным полем реактивной мощности.

Вопросы и задачи

79-1. Запишите выражения для произведения E через энергию движущихся заряженных частиц.

80-2. Какой смысл имеет произведение E внутри проводника с током

(закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме)?

81-3. Запишите выражение для плотности энергии электрического поля и докажите его.

78

82-4. Запишите выражение для плотности энергии магнитного поля и докажите его.

83-5. Дайте определение вектора Пойнтинга. Какой смысл он имеет?

84-6. Сформулируйте закон сохранения энергии в электродинамике

(теорему Умова-Пойнтинга) в интегральной форме.

85-7. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга в дифференциальной форме.

86-8. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга в интегральной форме для случая, когда внутри замкнутой поверхности находятся проводники с током

(или их части).

87-9. Сформулируйте теорему Умова-Пойнтинга в дифференциальной форме внутри проводника с током.

88-10. По бесконечно длинному прямолинейному проводнику кругового сечения радиуса R протекает постоянный ток i (рис. 2.42). Покажите, что поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность цилиндра длиной l и

радиуса основания R снаружи вовнутрь равен мощности тепловых потерь i2 r ,

где r – сопротивление части проводника длиной l . Сквозь какие части замкнутой поверхности поток энергии равен нулю (боковую поверхность или основания цилиндра)?

Рис. 2.42. К расчету потока энергии в прямолинейном проводнике, по которому протекает постоянный ток

89-11. Происходит зарядка конденсатора с круглыми пластинами радиуса

R и бесконечно длинными прямолинейными проводниками (рис. 2.43).

Покажите, что поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность S снаружи вовнутрь в любой момент времени равен скорости

поверхности S поток энергии равен нулю (боковую поверхность или основания цилиндра)?

Рис. 2.43. К расчету потока энергии в плоском конденсаторе, по которому протекает переменный ток

90-12. По соленоиду, сечение которого изображено на рис. 2.44 протекает положительный ток i t , возрастающий во времени. Длина соленоида l , радиус

R . Покажите, что поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность S снаружи вовнутрь в любой момент времени равен скорости увеличения энергии магнитного поля в объеме цилиндра ограниченного этой

однородное вплоть до оснований цилиндра, ограниченного замкнутой поверхностью S . Сквозь какие части замкнутой поверхности S поток энергии равен нулю (боковую поверхность или основания цилиндра)?

Рис. 2.44. К расчету потока энергии в соленоиде, по которому протекает

переменный ток

80

91-13. Представьте вектор Пойнтинга в гармоническом электромагнитном поле в виде суммы постоянной составляющей и колеблющейся составляющей.

92-14. Что такое комплексный вектор Пойнтинга и каким свойством он обладает?

Лекция 7

19. Электродинамические потенциалы

Как было показано, электромагнитное поле зарядов и токов в вакууме описывается системой дифференциальных уравнений Максвелла:

rotB 0 0 0 E ,t

rotE B ,

t

divB 0,

divE .

0

Здесь при заданных полях источников и неизвестными являются два векторных поля E и B или, что эквивалентно, шесть скалярных полей.

Например, в декартовой системе координат такими полями являются

Ex , Ey , Ez , Bx , By , Bz .

Часто для упрощения расчета электромагнитного поля вводят вспомогательные функции (поля) так, что искомые поля E и B выражаются через них. Такие вспомогательные функции называются потенциалами.

Подставив в уравнения Максвелла вместо E и B их выражения через потенциалы, получим дифференциальные уравнения для этих потенциалов.

81

Решая эти уравнения, находим потенциалы. Используя их, находим поля E и B .

Преимуществом введения потенциалов являются два факта: количество искомых полей будет меньше, количество дифференциальных уравнений также будет меньше.

По определению векторным потенциалом электромагнитного поля называется такое векторное поле A , ротор которого в каждой точке пространства в любой момент времени равен индукции магнитного поля B :

Тогда уравнение divB 0 удовлетворяется тождественно, так как div rot A 0 .

Подставим выражение для B (2.76) во второе уравнение Максвелла.

Получим:

известно, безвихревое поле может быть представлено в виде градиента

Выражение (2.77) является определением скалярного потенциала . Т.е.

скалярным потенциалом электромагнитного поля называется такое скалярное

и A называют электродинамическими потенциалами.

82

Количество неизвестных скалярных полей уменьшилось с шести до

выражения через электродинамические потенциалы (2.76) и (2.78), то оно будет удовлетворяться тождественно.

Для получения дифференциальных уравнений для A и необходимо использовать первое и четвертое уравнения Максвелла. Подставим выражения

для B и E (2.76) и (2.78) в первое уравнение Максвелла. Тогда получим:

Здесь использована формула (1.30).

Как будет показано ниже, потенциалы A и своими определениями задаются неоднозначно, поэтому на них можно наложить дополнительное условие. Первый вариант этого условия:

Это условие называется условием калибровки Лоренца.

Если использовать условие калибровки Лоренца, то последнее дифференциальное уравнение для потенциалов примет вид

A 0 0 2 A 0 .t2

неоднозначно. Пусть – скалярный потенциал, соответствующий векторному

Преобразования

называются калибровочными градиент-преобразованиями. При калибровочных градиент-преобразованиях векторы E и B не изменяются, т.е

Покажем теперь, что условие калибровки Лоренца (2.79) может быть наложено на электродинамические потенциалы. Пусть A и такие электродинамические потенциалы, что для них условие калибровки Лоренца не выполняются, т.е.

где F - некоторое скалярное поле, отличное от тождественного нуля.

Организуем новые электродинамические потенциалы

A A grad f , ft .

Функцию f попытаемся подобрать так, чтобы новые потенциалы удовлетворяли условию калибровки Лоренца, т.е. чтобы имело место тождество

Как известно из курса методов математической физики, это уравнение

(неоднородное волновое уравнение) имеет решение при любой правой части.

Следовательно, из всего множества электродинамических потенциалов найдутся такие потенциалы, которые будут удовлетворять условию калибровки Лоренца.

85

Пусть A и – электродинамические потенциалы, удовлетворяющие условию калибровки Лоренца. Пусть произведены калибровочные градиент-

преобразования

Выясним, какому условию должна удовлетворять функция f0, чтобы новые потенциалы A и также удовлетворяли условию калибровки Лоренца (в

частности выясним, может ли она отличаться от тождественного нуля).

Следовательно, условие калибровки Лоренца не делает электродинамические потенциалы однозначными. В конкретных задачах расчета электромагнитного поля для упрощения уравнений на потенциалы накладываются еще другие дополнительные условия.

Если функция f0 удовлетворяет уравнению (2.84), то преобразования

(2.83) называются укороченными калибровочными преобразованиями, т.е.

после этих преобразований остается в силе условие калибровки Лоренца.

Если в данной части пространства заряды отсутствуют ( div E 0 ), то

тогда можно применить для электродинамических потенциалов следующую калибровку:

Векторный потенциал будет удовлетворять уравнению (2.80) или: