Chast_2_1_l_3-5

28

ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЯ ЗАРЯДОВ И ТОКОВ В

ВАКУУМЕ

Лекция 3

10. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Теорема

Гаусса

Закон Кулона гласит, что два неподвижных заряженных тела малых, по сравнению с расстоянием между ними, размеров (два точечных заряда)

расположенные в вакууме отталкиваются, если заряды их одноименные, и

пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии,

соединяющей заряды (рис. 2.1)

Рис. 2.1. Иллюстрация закона Кулона

Здесь r12 - расстояние между первым и вторым зарядом, r120 - единичный вектор, направленный от первого ко второму заряду, k 0 - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

29

Этот закон был установлен Кулоном в 1785 – 1789 гг.

Если взаимодействие происходит не в вакууме, а в воздухе, то, как показывает опыт, сила взаимодействия такая же (почти), как и в вакууме.

В системе единиц СИ единица заряда называется кулон (Кл). Из определения единицы силы тока 1А можно получить, что зарядом 1 Кл называется такая величина заряда, что, если поместить на расстоянии 1 м два одинаковых заряда по 1 Кл каждый, то они будут взаимодействовать с силой

F 9 109 H .

Тогда из (2.1) легко находим

Тогда окончательно закон Кулона может быть записан в виде:

где, как легко найти из (2.2) и (2.3),

Если взаимодействуют три или более точечных заряда, то при нахождении силы, действующей на какой-либо заряд, будем пользоваться принципом наложения (суперпозиции). Это опытный факт. Он состоит из двух положений:

30

–сила взаимодействия двух зарядов не зависит от того, подвергаются ли эти заряды воздействию других зарядов или нет;

–равнодействующая электрических сил равна векторной сумме этих сил.

Если в точках некоторого пространства обнаруживаются силы,

действующие на неподвижный заряд, помещенный в эти точки, то будем

говорить, что в этом пространстве существует электрическое поле. Заряд

(неподвижный или движущийся) возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Пока мы остаемся в пределах электростатики, понятие поля может рассматриваться как понятие чисто условное, введенное лишь для

электромагнитных волнах, мы убедимся, что понятие поля имеет глубокий

физический смысл и что электромагнитное поле есть объективная реальность.

Согласно закону Кулона, сила, действующая на «пробный» заряд q , при внесении его в поле других зарядов, пропорциональна величине этого пробного заряда q . Поэтому силы электрического поля будут вполне определены, если определена в каждой точке этого поля сила, действующая на помещенный в ней

вносимый заряд не привел к перераспределению зарядов на поверхностях и в объемах заряженных тел, создающих исследуемое электрическое поле. Измерив напряженность в достаточно большом числе точек, мы получим математическое поле E M или E r ( M – точка пространства, r – ее радиус-

вектор).

Так из закона Кулона следует, что поле напряженности неподвижного заряда q , расположенного в начале координат имеет вид

32

величинами. Причина в (2.8) стоит справа, т.е. электрические заряды, которые порождают электрическое поле – следствие, которое стоит слева (сопоставьте в этом смысле теорему Гаусса, например, со вторым законом Ньютона в механике ma F ).

В законе Кулона (2.4) причиной являются заряды q1 , q2 , которые также

стоят справа, а следствием является сила F12 или F21 , которая стоит слева.

Из теоремы Гаусса можно вывести закон Кулона.

Если заряды распределены непрерывно («размазаны») в некоторой части пространства (рис. 2.3), то для характеристики интенсивности заряда в точке М

Рис. 2.3. К определению плотности заряда

При непрерывном распределении зарядов теорема Гаусса запишется так:

11. Индукция магнитного поля. Закон полного тока для постоянных

во времени полей

33

Если на неподвижный точечный заряд q , помещенный в точку М

пространства, действует сила Fэ , отличная от нуля или равная нулю, а на тот же самый движущийся заряд через точку М в момент его прохождения этой точки действует сила F Fэ , то будем говорить, что в точке М, а, следовательно, и в её окрестности, существует магнитное поле.

Таким образом, электрическое поле обнаруживается по силовому

воздействию на неподвижные заряды, а магнитное поле обнаруживается по силовому воздействию на движущиеся заряды.

Рис. 2.4. К определению индукции магнитного поля

34

Тогда по определению индукцией магнитного поля в точке М называется векторная величина B , модуль которой равен

наблюдается максимум магнитной силы, и направлено в такую сторону, что векторы Fм max , v и B составляют правую тройку векторов при q 0, т.е. при q 0 векторы Fм max , v и B сориентированы так же как оси 0x, 0y и 0z правой

системы координат.

При произвольном направлении скорости v , как показывает опыт,

Эта формула называется формулой Лоренца.

Результирующая сила, действующая на движущийся заряд q со стороны

Эту формулу иногда также называют формулой Лоренца.

Заметим, что определения напряженности электрического поля и индукции магнитного поля даны в определенной инерциальной системе отсчета, например, в системе отсчета, связанной с лабораторией. Если рассматривать данное электромагнитное поле в другой инерциальной системе отсчета, то величины E и B в этой системе отсчета будут другими, т.е.

величины E и B не носят абсолютный характер, они относительные.

Например, если в данной инерциальной системе отсчета электромагнитное поле создается неподвижным точечным зарядом, то в этой системе отсчета поле E в каждой точке будет иметь определенную величину, а

поле B 0 (магнитное поле порождается движущимися зарядами). Если это

35

электромагнитное поле рассмотреть в другой инерциальной системе отсчета,

движущейся по отношению к первой равномерно и прямолинейно, то в новой системе отсчета заряд будет перемещаться равномерно и прямолинейно, этот движущийся заряд кроме электрического поля E будет создавать и магнитное

Следовательно, разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное поля является относительным. Абсолютный характер, как будет показано в третьей части курса, носит электромагнитное поле в целом.

Как показывает опыт, магнитное поле порождается движущимися зарядами. Для характеристики движения зарядов вводится плотность тока и силы тока (ток). Пусть в некоторой части пространства имеются движущиеся заряды (положительные и отрицательные) (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К определению плотности тока

Возьмем физически бесконечно малую площадку S , содержащую точку

М и перпендикулярную скорости движения зарядов. По определению,

плотностью токов в точке М называется величина:

малое время t , qi – сумма абсолютных значений отрицательных зарядов,

i

прошедших сквозь площадку S за то же время t , vi – скорость движения i-

го положительного заряда.

37

от направления вычисления тока, т.е. направления dS м (или, что тоже, стрелки около надписи i ) по отношению к вектору (от нашего выбора не зависит).

На рис. 2.6 i 0 . Сказанное можно проиллюстрировать также двумя рисунками

(рис. 2.7):

Рис. 2.7. Примеры определения знака тока i

Приступаем к изложению закона полного тока. Как показывает опыт,

движущиеся заряды создают магнитное поле, причем такое, что:

измерения индуктивности).

Закон полного тока (2.17) – причинно-следственная связь между физическими величинами. Справа стоит причина – токи, а слева следствие – магнитное поле.

Приведем пример. Пусть магнитное поле создается токами,

протекающими по проводнику кругового сечения; плотность тока постоянна на сечении проводника. Найдем циркуляцию вектора B по контуру в виде прямоугольника (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Пример применения закона полного тока в интегральной форме