Chast_2_2_l_6-8
.pdf86
A 1 2 A 0 c2 t2
(в той части пространства, где 0 ). Поля B и E в этих случаях будут выражаться так
B rot A , E A .
t
Калибровка (2.85) называется кулоновской калибровкой. Таким образом,
свободное поле ( 0, 0 ) описывается одним векторным потенциалом,
удовлетворяющим однородному волновому уравнению и условию калибровки
div |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Если |
|
же |
заряды |
|
присутствуют в данной части пространства |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( div E |
0 ), |
то нельзя применить калибровку Кулона (2.85), так как |
из |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div |
|
0, |
|
||||||||||||
выражений |
|
|
A |
и |
|
|
|
|
0 получим |
что |
|||||||||||||||||||||
|
E |
|
|
div |
A |
div |
E |
A |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
противоречит уравнению div E |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы и задачи к лекции 7
93-1. Дайте определение векторного потенциала электромагнитного поля
94-2. Магнитное поле B изменяется по закону B ex Bx ex Bm sin t
(рис. 2.45). Найдите какой-либо векторный потенциал этого поля
Рис. 2.45. Пример определения векторного потенциала по заданной индукции магнитного поля
87
95-3. Дайте определение скалярного потенциала электромагнитного поля.
96-4. Что называют калибровочными градиент-преобразованиями электродинамических потенциалов? Какие величины электромагнитного поля они не изменяют?
97-5. Сформулируйте условие калибровки Лоренца.
98-6. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов, которые получаются при использовании калибровки Лоренца.
99-7. Что такое укороченные калибровочные градиент-преобразования?
100-8. Сформулируйте условия калибровки Кулона.
101-9. Однородный проводящий шар находится в однородном переменном во времени магнитном поле. Какую калибровку целесообразно применить при решении этой задачи с помощью электродинамических потенциалов?
Лекция 8
20. Электромагнитное поле произвольно движущихся зарядов.
Запаздывающие потенциалы
Рассмотрим систему зарядов, совершающих произвольное движение в некотором ограниченном объеме V (рис. 2.46).
Рис. 2.46. Система зарядов, совершающая произвольное движение в ограниченном объеме.
88
Распределение и движение зарядов в этом объеме будем характеризовать плотностью заряда P,t и плотностью тока P,t . Эти величины заданы для любой точки Р объема V и любого момента времени t . Вначале,
однако, мы найдем поле, обусловленное источниками заданными для моментов времени 0 t , т.е. будем считать заданными P,t и P, t для 0 t ,
|
|
P,t 0 . |
|
||
а для t 0 P,t 0 и |
|
||||
Так как до момента времени t 0 источники отсутствовали, |
то и поле |
||||
равно нулю для t 0 . |
|
||||
В дальнейшем мы будем искать поле для моментов времени 0 t . |
|||||
Следовательно, начальные условия: |
|
||||
|
|
M ,0 0 , |
(2.86) |
||
|
|
|
|
M ,0 0, |
(2.87) |
|
|
A |
где М – точка наблюдения.
Уравнения, которым удовлетворяют потенциалы и A :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
c2 |
|
|
t2 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в V |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
t |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
c2 |
|
t2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вне V . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
A |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||
|
A |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разобьем объем V на совокупность как угодно малых объемов. Заряд i- |
|||||||||||||||||||||||||||
ого объема q |
P ,t V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем рассматривать поле только движущихся зарядов этого элементарного объема Vi . Далее воспользуемся принципом суперпозиции.
89
Введем сферическую систему координат с началом, помещенным в объеме Vi . Очевидно, скалярное поле i , обусловленное зарядами этого объема, обладает сферической симметрией. Учитывая это запишем уравнение для i в сферических координатах:
1 |
|
2 |
r |
|
1 |
2 i 0 . |
|
|
|
||||
r r2 |
i |
|
c2 t2 |
|||
|
|
Интегрирование этого уравнения произведем по методу Даламбера.
Метод Даламбера заключается в сведении уравнения в частных производных такого типа к уравнению со смешанной второй производной.
Перепишем уравнение в таком виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
r |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
c2 t2 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
и введем новую неизвестную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
r i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
что возможно, т.к. r 0 вне объема Vi . Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
1 |
2 i |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
c2 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Введем теперь новые переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
r |
|
, t |
|
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
, r |
c |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
r |
|
t |
r |
2 |
t 2 |
2 |
|
r |
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
1 |
|
|
c |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
t |
|
|
|
|
2 r |
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
r |
c |
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Далее:
90
2 |
|
1 2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
4 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
r2 |
c2 t2 |
r |
|
|
r |
|
|
c2 |
|
|
c2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
c t |
|
c t |
|
|
|
|
|
Таким образом, в новых переменных уравнение имеет вид:
2 i 0 ,
или:
i 0 .
После первого интегрирования этого уравнения получим:
i i*** .
После второго интегрирования получаем:
i i*** d i* .
Или:
i i* i** .
Возвращаясь к старым независимым переменным, получаем:
|
* |
r |
** |
r |
|
|
|
|
|||
|
i i t |
|
i |
t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
||
Найденное решение имеет простой смысл. Так значение функции * |
в |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
точке r c t |
в момент времени t t |
совпадает со значением этой функции в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
* |
r |
|
|
|
точке r в момент времени t . Это означает, что i t |
|
|
описывает волновой |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
процесс. Волна распространяется в сторону возрастающих значений расстояния
|
** |
r |
|
||
r от начала координат со скоростью c . |
Аналогично i |
t |
|
|
описывает |
|
|||||
|
|
|
c |
|
|
волну, распространяющуюся от больших r |
к меньшим в направлении к началу |
||||
координат и также со скоростью c . |
|
|
|
|
|
Возвращаясь к старой неизвестной функции, получим: |
|
|
|
|
91
|
* |
|
r |
|
|
** |
r |
|
|
||||
i |
t |
|
|
|
|
i |
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c |
. |
(2.88) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сферы являются поверхностями равных значений i . Т.е. скалярный потенциал
i представляет собой совокупность расходящихся и сходящихся сферических волн.
Попробуем удовлетворить начальному условию (2.86) только с помощью
первой функции из (2.88). Для малых r эта функция равна
|
|
|
|
* |
|
* t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Естественно предположить, |
|
что для малых r потенциал определяется как |
|||||||||||||||||||||
в статике (см. следующую лекцию): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
* |
|
1 |
|
|
|
|
|
Pi ,t Vi |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i |
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для любых точек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rP M |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi ,t |
i |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
c |
|
|||||||||||||
* M ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
rP M |
|
|
|
|
|
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если подставить в это выражение значение t 0 , то получим: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rP M |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Pi , |
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* M ,0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
V 0 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i |
|
4 0 |
|
|
|
rP M |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как в соответствии с предположением о том, что P,t 0 для |
t 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
rP M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Pi , |
|
|
i |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, функция i* M ,t удовлетворяет начальному условию (2.86).
Если использовать только второе слагаемое (2.88) то по аналогии получим:
92
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rP M |
||
|
|
|
|
|
|
|
Pi ,t |
i |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
c |
||||
|
|
|
|
** M ,t |
|
|
|
|
V . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i |
4 0 |
|
|
rP M |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Эта |
функция |
не удовлетворяет |
начальному условию (2.86), так как |
||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi , |
Pi M |
|
0 |
(см. начало этой лекции). |
|
|
|
||||
c |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, результирующий |
|
потенциал |
|
будет |
иметь |
вид |
||||||||||||||||
суперпозиции потенциалов * |
. Переходя |
к пределу при V 0 приходим к |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
интегралу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P,t |
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
M ,t |
|
|
|
|
|
|
dVP |
. |
|
|
|
|
(2.89) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 0 V |
|
rPM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для получения потенциала в точке наблюдения M в момент времени t |
|||||||||||||||||||||||
нужно взять интеграл от величины |
|
по всему объему. |
При этом, однако, |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение плотности заряда в точке интегрирования |
P берется не в момент |
||||||||||||||||||||||
времени t , |
а в более |
ранний |
момент времени |
t |
rPM |
, |
где время |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
запаздывания |
потенциала |
от |
источника |
|
rPM |
|
|
определяется расстоянием |
от |
||||||||||||||
|
c |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждой точки P до точки наблюдения М (оно разное для разных точек P ). В
связи с этим потенциал (2.89) называют запаздывающим скалярным потенциалом.
Для получения выражения для векторного потенциала запишем дифференциальные уравнения для х-овой компоненты этого потенциала:
Ax 1 2 Ax 0 x в V , c2 t2
Ax 1 2 Ax 0 вне V . c2 t2
93
Сравним эти уравнения с уравнениями для скалярного потенциала.
Видим, что они совпадают. Нужно только |
заменить на A |
|
, а |
|
|
|
заменить на |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 x . Поэтому решение для |
|
|
Ax |
|
получается из решения |
|
для |
указанной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
заменой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x P,t |
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ax |
M ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
dVP . |
|
|
|
|
(2.90) |
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично можно получить выражения для Ay M ,t |
и Az M ,t : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y P,t |
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ay |
M ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
dVP , |
|
|
|
|
(2.91) |
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z P,t |
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Az |
M ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
dVP . |
|
|
|
|
(2.92) |
||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Умножая выражения (2.90), (2.91), (2.92) соответственно на орты ex , ey , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ez и складывая эти выражения, |
приходим к формуле для запаздывающего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
векторного потенциала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P, t |
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
A M ,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dVP |
. |
|
|
|
|
(2.93) |
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Как и для скалярного потенциала имеет место запаздывание векторного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rPM |
|
|
|
|
потенциала A от источников . |
Это время запаздывания |
|
различно для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разных точек наблюдения P .
Необходимо отметить, что возмущение, как для скалярного, так и для векторного потенциала распространяется от точки интегрирования к точке наблюдения со скоростью с.
Заметим также, что, так как потенциал в точке М в любой момент времени t определяется источниками, взятыми в точках P в моменты времени
94
t rPMc , то требование нулевых начальных условий отпадает, т.е. в формулах
(2.89) и (2.93) источники и могут быть отличными от нуля для t .
Вопросы и задачи к лекции 8
102-1. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических
потенциалов внутри и вне объема V , если движущиеся заряды имеются в объеме V и отсутствуют вне объема V .
103-2. В чем смысл решения волнового уравнения методом Даламбера?
104-3. Запишите формулу для запаздывающего скалярного потенциала.
105-4. Запишите формулу для запаздывающего векторного потенциала.
106-5. Запишите формулы для электродинамических потенциалов в
случае, когда заряды в объеме V неподвижны и не изменяются во времени
( P,t P , P,t 0 ).
107-6. Запишите формулы для электродинамических потенциалов в случае, когда плотность тока и плотность заряда не зависят от времени
( P,t P , P,t P ). В какой физической ситуации это возможно?
108-7. На рис. 2.47 изображен объем V и две точки наблюдения M1 и M 2 . Известно, что rPM2 2 rPM1 .
Рис. 2.47. Объем V с изменяющимся зарядом
В момент времени 1 заряд в объеме V равен q1 , а в момент времени 2 |
заряд |
в объеме V равен q2 . Как выражается заряд q2 через заряд q1 , |
если |
|
|
|
|
|
|
|
95 |
скалярный потенциал зарядов объема V |
в точке М1 в момент времени |
||||||
1 |
|
rPM1 |
|
равен потенциалу зарядов объема |
V в точке М2 в момент времени |
||
|
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
rPM2 |
? |
|
|||
|
|
|
c |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Лекция 9
21. Электродинамические потенциалы произвольно движущегося
точечного заряда (потенциалы Лиенара-Вихерта)
Пусть в момент времени * заряд занимал положение, изображенное на рис. 2.48.
Рис. 2.48. Произвольно движущийся точечный заряд
Возмущение от зарядов в окрестности точки P* , происшедшее в момент времени * , придет в фиксированную точку наблюдения М в момент времени t
равный
t * |
rP* M * |
. |
(2.94) |
|
c
Равенство (2.94) можно записать так ct c * rP* M * .
Изобразим функцию c rP* M на графике (рис. 2.49).