Chast_2_3_l_9-12

127

Мы не имеем теперь права при выборе пути интегрирования от точки M

к точке M0 выбирать его так, чтобы он пересекал условную перегородку.

Легко видеть, что на условной перегородке скалярный магнитный потенциал претерпевает скачок:

M2 M1 i .

Если подставить (2.143) в (2.142), то получим дифференциальное

можно ввести, удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является гармонической функцией.

Вопросы и задачи к лекции 11

131-1. Запишите точное выражение для потенциальной энергии системы зарядов, расположенных во внешнем поле.

132-2. Запишите приближенное выражение для потенциальной энергии системы зарядов, расположенных во внешнем поле при взятии двух первых членов разложения.

133-3. Найдите энергию точечного заряда q , находящегося в поле диполя с дипольным моментом p (вектор расстояния между системами R направлен от диполя к точечному заряду). Считать, что точечный заряд q находится в точке

M , в окрестности которой производится разложение потенциала внешнего поля (поля диполя).

134-4. Получите выражение для силы, действующей на систему зарядов в случае, если полный заряд системы равен нулю. Эта сила определяется производными внешнего поля E или самим полем E ?

128

135-5. Получите выражение для полного момента сил относительно точки

M (центра зарядов системы). Этот момент определяется производными

внешнего поля E или самим полем E ?

136-6. Выведите из формулы для запаздывающего векторного потенциала формулу для векторного объемного потенциала магнитного поля

стационарного тока.

137-7. Запишите формулу Био-Савара-Лапласа для случая, когда ток протекает по объему V, и для случая, когда ток протекает по тонкому

проводнику (по контуру l).

138-8. Найдите индукцию магнитного поля в центре квадратной рамки с током i . Найдите приближенное значение поля в этой точке, используя закон полного тока в интегральной форме. На сколько процентов больше или меньше

приближенное значение по сравнению с точным?

139-9. Магнитное поле создается бесконечно длинным прямолинейным

м М (скалярный магнитный потенциал в точке M ).

Рис. 2.71. К нахождению скалярного магнитного потенциала бесконечно длинного прямолинейного проводника с током

140-10. Дайте определение односвязной области.

Лекция 12

28. Разложение векторного потенциала магнитного поля

стационарного тока по мультиполям. Магнитный момент

постоянный вектор a и внесем его под знак интеграла. Тогда подынтегральное выражение можно преобразовать следующим образом:

a P rN rP a rP P rN P gradP a rP rN rPdivP P a rP rP rN a rP rP rN divP P .

Здесь индекс P означает, что операции градиент и дивергенция берутся по точке P .

Использована формула векторного анализа: div u u grad divu ,

где u P , a rP rP rN .

В соответствии с принципом непрерывности постоянного во времени

тока

divP P 0.

Поэтому:

Здесь использована математическая теорема Гаусса-Остроградского.

Постоянный вектор a в (2.153) можно вынести из-под знака интеграла

aK a n P rP rP rN dSP .

S

Поскольку это равенство справедливо для произвольного постоянного вектора a , то отсюда следует, что

K n P rP rP rN dSP . S

Для постоянного во времени тока n P 0 на поверхности S ,

ограничивающей объем V . Это легко следует из принципа непрерывности постоянного электрического тока в интегральной форме (2.22).

132

Следовательно, K 0 .

Покажем, что в (2.152) равен нулю и первый член правой части. Для этого разобьем объем V , по которому протекает постоянный во времени ток, на трубки тока Vk (рис. 2.73).

Рис. 2.73. Представление системы постоянных токов в виде совокупности трубок тока

Трубка тока обладает тем свойством, что вектор в любой точке

поверхности трубки касателен к этой поверхности. Тогда из принципа непрерывности постоянного электрического тока следует, что ток сквозь любое сечение трубки один и тот же. Обозначим его через ik . Можно записать:

P и dlp коллинеарны, т.е. они или совпадают по направлению, или противоположны, то равенство, которое здесь использовано и которое было использовано ранее

P dlP dl p dlP ,

очевидно. Произведение dlP dSP равно току трубки ik , который для данной трубки величина постоянная и его можно вынести из-под знака интеграла.

где M – магнитный момент системы токов (2.151).

Следовательно, на расстояниях, значительно превышающих размеры объема V, магнитное поле замкнутой системы токов определяется ее магнитным моментом M , подобно тому, как электрическое поле нейтральной системы зарядов определяется ее электрическим моментом p (2.114).

Существенно, что значение магнитного момента M системы токов,

удовлетворяющей условию P dVP 0 (например, система постоянных во

V

времени токов) не зависит от выбора начала координат. Покажем это. Выберем новое начало отсчета O' (рис. 2.74). Тогда магнитный момент в новой системе координат:

Рис. 2.74. К доказательству независимости магнитного момента системы постоянных токов от выбора начала координат

134

где S - вектор площади, ограниченной контуром с током. Он равен по величине площади S и направлен перпендикулярно ей в направлении,

согласованном со стрелкой тока i правилом правоходового винта.

Рис. 2.75. К выводу формулы для магнитного момента плоского витка с током

Имеем:

заштрихованного треугольника. Обозначим это векторное произведение через dS . Оно направлено перпендикулярно векторам rP и dlP , как указано на рис. 2.75. Теперь можно продолжить равенство (2.156)

ограниченное замкнутой линией l, в векторной форме. Вводя площадь S ,

натянутую на контур l (рис. 2.75), можно записать

135

29. Индукция магнитного поля вдали от системы стационарных

токов

Используя выражение для векторного потенциала (2.154), найдем