13. Погрешность численного дифференцирования

Аппроксимируем функцию f(x) некоторой функцией j (x), т.е. представим ее в виде

. (7)

В качестве аппроксимирующей функции j (x) можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную функцию. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом ряда или интерполяционной формулы.

Аппроксимирующая функция j (x) может быть использована также для приближенного вычисления производной функции f(x). Дифференцируя равенство (7) необходимое число раз, можно найти значения производных :

 

В качестве приближенного значения производной порядка k функции f(x) можно принять соответствующее значение производной функции j (x), т. е.  . Величина

,

характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называетсяпогрешностью аппроксимации производной.

При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом h, эта погрешность зависит от h, и ее записывают в виде  . Показатель степени k называется порядком погрешности аппроксимации производной (или просто порядком аппроксимации). При этом предполагается, что значение шага по модулю меньше единицы.

Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора

Пусть функция f(x) задана в виде таблицы f(x_i) = y_i (i = 0, 1,…, n). Запишем ряд Тейлора при x = x₁, Dx = -h с точностью до членов порядка h:

.

Отсюда найдем значение производной в точке x = x₁:

.

Это выражение совпадает с формулой (3), которая, как видно, является аппроксимацией первого порядка (k=1). Аналогично, записывая ряд Тейлора при D x = h, можно получить аппроксимацию (4). Она также имеет первый порядок.

Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешностей аппроксимаций (5) и (6). Полагая D x = h и D x = -h, соответственно получаем

 (8)

Вычитая эти равенства одно из другого, после очевидных преобразований получаем

.

Это аппроксимация производной (5) с помощью центральных разностей. Она имеет второй порядок.

Складывая равенства (8), находим оценку погрешности аппроксимации производной второго порядка вида (6):

.

Таким образом, эта аппроксимация имеет второй порядок. Аналогично можно получить аппроксимации производных более высоких порядков и оценку их погрешностей.

Мы рассмотрели лишь один из источников погрешностей численного дифференцирования - погрешность аппроксимации (ее также называют погрешностью усечения). Она определяется величиной остаточного члена.

Анализ остаточного члена нетривиален, отметим лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага h, как правило, уменьшается.

Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, определяются также неточными значениями функции y_i в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ. В отличие от погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает с уменьшением шага h. Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов.

БИЛЕТ 8_____________________________