- •Классификация методов решения слау
- •[Править]Прямые методы
- •[Править]Итерационные методы
- •Погрешность численного дифференцирования
- •Итерационные методы решения слау Итерационные методы решения линейных алгебраических систем Метод простой итерации или метод Якоби
- •Метод Гаусса – Зейделя
- •Метод Гаусса решения слау
- •[Править]Условие совместности
- •Метод Эйлера
- •[Править]Оценка погрешности
- •[Править]Значение метода Эйлера
- •Метод прогонки решения слАу
- •Метод Эйлера с пересчетом
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Одношаговые методы
- •Решение нелинейных уравнений
- •Многошаговые методы
- •Метод деления отрезка пополам для решения нелинейного уравнения
- •Методы Рунге-Кутта
- •Метод хорд для решения нелинейных уравнений Метод хорд
- •Задача Коши для разрешения обыкновыеннх дифф. Уравнений
- •Метод Ньютона Метод Ньютона (метод касательных)
- •Краевая задача для уравнений
- •2. Теоретическая справка
- •2.1. Пример краевой задачи
- •Метод простой итерации Метод простых итераций
- •Основные понятия метода сеток
- •Комплексные корни
- •Многошаговый метод Адамса
- •Метод простой итерации для решения системы
- •Задача Дирихле для уравнения Лапласа
- •Приближения функции. Аппроксимация.
- •Явные и неявные разностные схемы
- •Явные схемы
- •[Править]Неявные схемы
- •Полунеявные схемы
- •Интерполяция
- •Определения
- •[Править]Пример
- •Интерполяция методом ближайшего соседа
- •[Править]Интерполяция многочленами
- •[Править]Обратное интерполирование (вычисление X при заданном y)
- •[Править]Интерполяция функции нескольких переменных
- •[Править]Другие способы интерполяции
- •Аппроксимация, сходимость, устойчивость разностной схемы
- •1.2.7 Аппроксимация.
- •Линейная интерполяция
- •[Править]Геометрическая интерпретация
- •[Править]Применение
- •Уравнение Пуассона
- •Квадратичная интерполяция
- •Уравнение теплопроводности
Метод Гаусса – Зейделя
Расчетные формулы имеют вид:
т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.
Подробные формулы имеют вид:
Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:
Начальное приближение:
Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.
Расчетные формулы:
k |
x1 |
x2 |
x3 |
точность |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1.250 |
0.250 |
0.075 |
1.2500 |
2 |
1.106 |
0.321 |
0.132 |
0.1438 |
3 |
1.056 |
0.340 |
0.151 |
0.0500 |
4 |
1.042 |
0.344 |
0.156 |
0.0139 |
5 |
1.039 |
0.346 |
0.157 |
0.0036 |
Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы.
Разностные методы при решении обыкновенных дифф. Уравнений.
БИЛЕТ 9_______________________________
Метод Гаусса решения слау
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна.
Пусть для любых .
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):
, где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
|
Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. |
|