36. Приближения функции. Аппроксимация.

Приближение функций – нахождение по данной функции некоторой другой, в определенном смысле мало отличающейся от данной, но обладающей, в отличие от нее, какими-то специальными требуемыми свойствами – принадлежащей к определенному семейству, семейству приближающих функций.

Часто для приближения функций используют алгебраические многочлены Р_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n-1x + a_n,

рациональные дроби

где числитель и знаменатель – алгебраические многочлены; тригонометрические полиномы

Вообще для приближения используют многочлены, составленные из заданного семейства функций _k(x):

Аппроксима́ция, или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаютсядиофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

При математическом моделировании часто требуется представить некую зависимость, заданную отдельными точками, в виде гладкой функции. Исходные точки могут быть заданы с ошибками. В этом случае целесообразно применить аппроксимацию исходных данных методом наименьших квадратов. Выбор аппроксимирующей функции во многом определяется физикой описываемого процесса. Если известен вид аппроксимирующей функции, то задача сводится к отысканию коэффициентов, входящих в функцию. Аппроксимация полиномом по методу наименьших квадратов

Сплайн-аппроксимация и представление функций, заданных на интервалах

37. Явные и неявные разностные схемы

Разностная схема — это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом, разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения, поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода, что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Явные схемы

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Пример явной схемы для дифференцирования:   (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Согласно теореме Годунова среди линейных разностных схем для уравнения переноса с порядком аппроксимации выше первого нет устойчивых. Таким образом, все устойчивые схемы высокого порядка аппроксимации являются нелинейными (несмотря на линейность исходного уравнения).