40. Линейная интерполяция

Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом P₁(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b]. В случае, если заданы значения в нескольких точках, функция заменяется кусочно-линейной функцией.

[Править]Геометрическая интерпретация

Геометрически это означает замену графика функции   прямой, проходящей через точки   и  .

График: пример линейной интерполяции

Уравнение такой прямой имеет вид:

отсюда для 

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом

где   — погрешность формулы:

Справедлива оценка

[Править]Применение

Линейная интерполяция применяется для уплотнения таблиц.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулы Ньютона.

41. Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

• электростатическое поле,

• стационарное поле температуры,

• поле давления,

• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: 

где   — оператор Лапласа или лапласиан, а   — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме   и уравнение Пуассона принимает вид:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

БИЛЕТ 22__________________________________

42. Квадратичная интерполяция

В случае квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке (x_{i -} 1,x_{i +} 1) принимается квадратный трехчлен.

Уравнения квадратного трехчлена

y = aix2 + bix + ci,, xi - 1 x   xi + 1,

(21)

содержат три неизвестных коэффициента a_i, b_i, c_i, для определения которых необходимы три уравнения.

Ими служат условия прохождения параболы (21) через три точки (x_{i -} 1, y_{i -} 1), (x_i, y_i), (x_{i +} 1, y_{i +} 1). Эти условия можно записать в виде:

ai x  + bi xi - 1 + ci = yi - 1, ai x  + bi xi + ci = yi, ai x  + bi xi + 1 + ci = yi + 1.

(22)

 

 

Интерполяция для любой точки x   [x₀, x_n] проводится по трем ближайшим точкам.

43. Уравнение теплопроводности