- •Список вопросов по курсу математического анализа, 4 семестр
- •Функционал. Линейное нормированное пространство. Метрическое пространство. Топологическое пространство.
- •Вопрос 8. Определение метрического пространства. Примеры
- •Вопрос 9. Расстояния на множестве непрерывных функций
- •Вопрос 10. Сходимость в метрическом пространстве
- •Вопрос 11. Равномерная сходимость и сходимость в среднем
- •Вопрос 12. Замкнутые множества в метрическом пространстве, их свойства
- •Вопрос 13. Замыкание множества в метрическом пространстве
- •Вопрос 14. Открытые множества в метрическом пространстве
- •Вопрос 15. Полные метрические пространства
- •Вопрос 16.Примеры полных метрических пространств.
- •Вопрос 17. Топологические пространства
- •Вопрос 20. Пространство . Компактные множества в
- •Открытые и закрытые множества в .
- •Сходимость в .
- •Компактные множества в .
- •Вопрос 21. Непрерывные функции и отображения
- •Вопрос 22. Индуцированная топология . Теоремы о максимуме
- •Раздел 12. Элементы вариационного исчисления
Вопрос 15. Полные метрические пространства
Вспомним материал первого семестра. Мы доказали там критерий Коши существования предела последовательности :
существует . (это свойство называлось фундаментальностью последовательности).
Тогда же мы отметили, что если рассматривать , то полученный предел может не принадлежать (т.е. может оказаться иррациональным числом). Это свойство мы отметим, как полноту и неполноту , соответственно. Мы также отметим, что служит для пополнением (подразумевая пополнение по метрике .
Рассмотрим теперь произвольное метрическое пространство с расстоянием и назовем последовательность фундаментальной , если (Также последовательности называют также последовательностями Коши)
Теорема 1. Если существует ; , то - фундаментальная последовательность
Пусть . Тогда .
Но тогда
Определение . Множество точек метрического пространства называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре этого пространства М.
Можно сформулировать это определение в равносильном виде: Для любой точки множество расстояний представляет собой ограниченное сверху числовое множество (ограниченность этого множества снизу очевидна: ).
Теорема 2. Если последовательность фундаментальна, то множество ее значений – ограниченное множество в .
Положим =1 и рассмотрим определение фундаментальности, согласно которому существует N=N(1) такие, что для всех n, m>N(1) имеет место неравенство . Положим m=N+1 (оно больше, чем N). Тогда для всех n>N имеем .
Рассмотрим множество чисел . Это – конечное множество и в нем имеется наибольший элемент, который обозначим r. Тогда для любого n имеем .
Таким образом, все xn принадлежат шару с центром в точке xN+1 и радиусом R.
Основное определение. Метрическое пространство М называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел.
Вопрос 16.Примеры полных метрических пространств.
Числовая прямая .Её полнота известна из первого семестра
Пространствоn. Его полнота следует из того, что если и - фундаментальная последовательность, т.е. , то это означает, что , откуда и, следовательно, для каждого последовательность - фундаментальная.
Ввиду полноты это означает, что .
Следовательно, .
Пространство 2 - полное. Напомним, что гильбертово пространство l2 состоит из бесконечных последовательностей , , i=1,2,…, обладающих свойством x(i)2 < ∞
Расстояние в нём задано, как
Фундаментальность последовательности означает, что
откуда, как и выше, получаем, что для каждого i,i=1,2,… последовательность - фундаментальная, поэтому для каждого i=1,2,… существует предел . Осталось доказать, что Для этого рассмотрим неравенство /2
Из него для любого получим /2.
В этом неравенстве перейдём к пределу при k .
Так как оно верно для любого ряд cходится и выполняется неравенство
/2, что и означает, что . Таким образом, , что означает что .
Полнота пространства непрерывных на отрезке функций с метрикой, определяющей равномерную сходимость, следует из теоремы о том, что последовательность непрерывных функций, сходящаяся равномерно, имеет пределом непрерывную функцию.