Вопрос 13. Замыкание множества в метрическом пространстве

Определение. Замыкание множества получается присоединением к множеству всех его предельных точек.

Из определения сразу следует, что замкнуто тогда и только тогда, когда .

Лемма 1. Всякая точка может быть представлена как , где .

Либо , тогда для всех и доказываемое равенство очевидно. Либо , но , тогда, по определению , существует последовательность : . 

Лемма 2. _.

Необходимость доказана в лемме 1. Достаточность: , тогда и . 

Теорема . Замыкание есть наименьшее замкнутое подмножество, содержащее .

_Требуется доказать, во-первых, что замыкание - замкнутое множество и, во-вторых, что любое замкнутое множество содержащее множество , , содержит и множество , т.е. .

Пусть и . По лемме 2, для каждого существует точка такая , что .

Тогда . Правая часть стремится к при . Поэтому , но .

Далее, пусть . Будучи замкнутым, содержит пределы всех сходящихся последовательностей точек из . Следовательно, _.

Вопрос 14. Открытые множества в метрическом пространстве

Определение. Пусть - произвольное множество точек из метрического пространства . Точка называется внутренней точкой множества , если существует такое, что все точки с условием (т.е. ) также принадлежат .

Множество , все точки которого – внутренние, называется открытым.

Примеры открытых множеств. Интервал на прямой, круг без границы и т.д.

Теорема . открытое - замкнутое.

_Пусть - открытое и пусть , .Если бы , это обозначало бы, что ; ввиду чего существовала бы . Но тогда условие , ( ) невозможно. Т.о. и - замкнутое, а .

Обратно. Пусть - замкнутое, а . Если бы для любого существовала точка такая, что , то тогда, по лемме 2 из вопроса 13, , но - замкнутое, , значит , что невозможно по условию.

Теорема . Объединение любого множества открытых множеств и пересечение конечного числа открытых множеств – открытое множество.

_Пусть . Возьмем , при некоторых имеем . Но - открытое, и существует . Тогда . Поэтому - открытое.

Пусть . Пусть , это означает, что , Для каждого существует такое, что .

Выберем . Тогда и . 

Используем теоремы и получим

Следствие. Пересечение любого числа замкнутых множеств – замкнутое множество. Объединение конечного числа замкнутых множеств – замкнутое множество.

Пусть - замкнутое. Обозначим . Рассмотрим и рассмотрим его дополнение .

Напомним законы де Моргана:

- открытое множество, по теореме 3. Значит по теореме 2, - замкнутое множество.

Аналогично, - открытое множество. По доказанной теореме , - замкнутое множество. 

Замечание. Пересечение конечного числа открытых множеств, по доказанному, открытое множество, однако пересечение бесконечного числа открытых множеств может оказаться замкнутым. Например, пусть . Тогда . Аналогично, объединение бесконечного числа замкнутых множеств может оказаться открытым множеством: Тогда .