Вопрос 9. Расстояния на множестве непрерывных функций

Рассмотрим множество непрерывных на отрезке [a,b] функций.

Нашей целью является введение расстояния на этом множестве несколькими различными способами.

1. Определим

.

(то, что максимум достигается, следует из теоремы Вейерштрасса из первого семестра: непрерывная на отрезке функция достигает минимального и максимального значений).

Снова очевидны первые 2 свойства расстояния. Неравенство

треугольника проверяется так:

2. Еще пример: множество непрерывных на отрезке функций с расстоянием .

В этом случае очевидным является свойство 2. Третье свойство получается интегрированием неравенства .

Докажем свойство 1, т.е. докажем, что если

, , то .

Для этого достаточно доказать, что если и , то .

Предполагая противное, получим, что существует точка : . Тогда, по непрерывности, : и тогда , вопреки условию.

Рассмотренные выше примеры показывают, что на одном и том же множестве можно ввести разные функции расстояния, получая при этом, разумеется, различные метрические пространства.

3. Введём расстояние по формуле (с таким

расстоянием мы имели дело при изучении рядов Фурье).

Свойство 2) расстояния очевидно, свойство 1) расстояния в примере 3 проверяется точно так же, как в примере 2.

Свойство 3) расстояния проверяется так: рассмотрим , т.к. для (интеграл от неотрицательной функции неотрицателен). Поэтому дискриминант этого квадратного трехчлена неположителен, откуда

Это так называемое неравенство Буняковского. Из этого неравенства получаем

и это интегральная форма неравенства треугольника.

Положив и , получим , ч.т.д.

Можно было бы ввести и другие расстояния, используя неравенство Минковского

для доказательства «неравенства треугольника» , т.е. свойства 3 расстояния. Все остальные свойства расстояния проверялись бы аналогично тому, как это сделано в предыдущем примере.

В предыдущем и следующих примерах мы ограничимся рассмотрением множества непрерывных функций. Однако введённое в примере 3 расстояние более естественно рассматривать не только на множестве непрерывных функций, а на более широком множестве; для этого используется понятие интеграла Лебега. Рекомендуем заинтересовавшимся этим вопросами обратиться, например, к классической книге: А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа».

Вопрос 10. Сходимость в метрическом пространстве

Определение. Точка метрического пространства (т.е. множества с функцией расстояния ) называется пределом бесконечной последовательности точек , если (это обозначается, как обычно: или ).

Иными словами, говорят, что сходится к по метрике пространства (или по расстоянию).

Разумеется, предел, если существует, то только один: если и , то , откуда при получаем, что , и .

1. В пространстве сходимость , по метрике равносильна тому, что для любого , , , т.е покоординатной сходимости.

Действительно, , поэтому если , то , т.е. при любом при . Обратно, если для всех при , то при , следовательно при .

2. Однако в пространстве (см.пример 2 вопроса 8) из сходимости по метрике вытекает покоординатная сходимость, но не наоборот.

Действительно, если , то при , поэтому для любого получаем , т.е. при .

Обратно, возьмём в качестве вектор , все координаты которого, кроме , равны 0, и .

Для любого фиксированного последовательность имеет вид: (все члены последовательности, кроме -го равен 0, . Однако вектор не является пределом последовательности , так как для

любого , а не стремится к при _{. }