5. Уравнение шредингера. Изменение состояния со временем

84. (88) Чем отличается уравнение Шредингера от уравнения диффузии?

Ответ: Уравнение диффузии и уравнение Шрёдингера для свободной частицы имеют аналогичный математический вид (1, 2) – соответственно.

(84.1)

(84.2)

Однако, в уравнении (84.1) D – коэффициент диффузии, определяющий реальную величину- поток концентрации вещества при единичном градиенте концентраций. В уравнении же (84.2) - аналогичный коэффициент мнимый. В уравнении диффузии неизвестной функцией является функция

, определяющая реальную физическую величину- концентрацию вещества в зависимости от координат точек пространства и времени. В уравнении (84.2) искомой является волновая функция , которая сама по себе смысла не имеет и в общем случае является комплексной. Действительность всех величин, входящих в уравнение (84.1) приводит к необратимости процесса диффузии. Наличие же мнимой единицы в уравнении (84.2) позволяет описывать волновые (обратимые) процессы.

85. (89) Почему в левой части уравнения Шредингера стоит частная, а не полная производная по t ?

Ответ: Полная производная от волновой функции по времени в левой части уравнении Шрёдингера означала бы следующую математическую операцию:

, (84.3)

где последняя производная в правой части выражения (84.3) есть скорость. Но согласно принципу неопределённости, скорость и координата частицы в микромире одновременно не существуют (их операторы не коммутируют). Поэтому в микромире выражение (84.3) смысла не имеет.

Пропущены номера???

90. (86) Что называется полным набором величин? Сколько величин входит в полный набор?

Ответ: Полным набором величин называется полная совокупность независимых физических величин, измеримых одновременно точно и число которых достаточно для полной характеристики состояния микросистемы. В полный набор величин в микромире входит столько физических величин, сколько можно найти операторов этих величин, коммутирующих между собой и с гамильтонианом микросистемы. Согласно теореме Нётер, таких коммутирующих операторов микросистема имеет столько, сколько она имеет симметрий.

91. (87) Чем отличается полный набор величин в квантовой механике от полного набора величин в классической механике?

Ответ: Для полного описания состояния классического объекта надо, как известно, задать определенную совокупность чисел – координаты и компоненты скорости, а также их зависимость от времени. Эта совокупность позволяет определить и другие величины, характеризующие объект: энергию, импульс, момент импульса. Для микрообъектов такой способ задания состояния неприемлем из-за ограничений, которые накладываются принципом неопределённости. Так, например, наличие у микрообъекта определенной проекции импульса на выбранное направление означает, что координата микрообъекта на указанном направлении не может быть предсказана однозначно: согласно формуле Δp _x Δx > h, при Δp _x =0 соответствующая пространственная координата характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в стационарном состоянии атома имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются неопределенностью порядка линейных размеров атома. Согласно той же формуле, это приводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной отношению постоянной Планка к линейному размеру атома. Поэтому полные наборы величин в квантовой и классической механике различаются. Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения, вытекающие из соотношений неопределенностей и касающиеся полных наборов величин:

а) различные динамические переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных (одновременно существующих или одновременно измеримых или одновременно наблюдаемых) величин, так называемые полные наборы величин; при этом, если определены величины полного набора, то никакая другая величина (не являющаяся их функцией) не может иметь в этом состоянии определённого значения;

б) различные состояния микрообъекта объединяются в группы состояний, отвечающих разным полным наборам величин; каждая такая группа определяет состояния микрообъекта, в которых объединены величины соответствующего полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует свой способ задания состояний).

92. (88) Что такое интеграл движения? Какая разница в истолковании интегралов движения в квантовой и классической механике?

Ответ: В классической механике интегралом движения материальной точки называют величину, которая может быть записана в виде функции координат и скоростей точки и сохраняется во времени. Систематический способ нахождения классических интегралов движения даёт теорема Нётер, которая утверждает, что каждому закону сохранения соответствует симметрия механической системы. В квантовой механике наблюдаемые физические величины представляются операторами. Поэтому, в квантовой механике под интегралами движения понимают такие не зависящие от времени операторы, которые являются функциями операторов координат и импульсов, и средние значения которых сохраняются во времени. Чтобы это требование выполнялось необходимо, чтобы операторы, о которых идёт речь, коммутировали с гамильтонианом. Из этих комментариев нетрудно видеть и разницу в истолковании интегралов движения в классической и квантовой механике.

93. (89) Что понимают под стационарным состоянием в квантовой механике? Чем это толкование отличается от толкования классического?

Ответ: В квантовой механике под стационарным состоянием понимают такое состояние системы, в котором энергия системы не зависит от времени. При этом само состояние системы зависит от времени по закону:

Для стационарных квантовых состояний характерно следующее:

1. Среднее значение любой физической величины, оператор которой не зависит от времени, постоянно во времени.

2. Вероятность найти некоторое значение физической величины, оператор которой не зависит от времени, постоянно во времени.

3. Плотность вероятности и плотность тока вероятности не зависят от времени.

В классической механике к стационарному состоянию относят состояние покоя системы, в котором энергия и скорость системы равны нулю.

В квантовой механике состояние системы с энергией, равной нулю, отсутствует. Его существование противоречило бы принципу неопределённости.

94. (90) Если стационарное состояние в квантовой механике меняется со временем, почему оно называется стационарным?

Ответ: В квантовой механике состояние называется стационарным по признакам 1-3, перечисленным в пункте 89.

95. (91) Как стационарное квантовое состояние зависит от времени?

Ответ: Эта зависимость приведена в пункте 89.

96. (92) Выясните зависимость от времени средней величины <A> не зависящего от времени оператора , если состояние частицы:

а) не стационарно;

б) стационарно.

Ответ:

а) Пусть - нестационарное состояние системы. Разложим это состояние по собственным функциям гамильтониана системы: . Тогда среднее значение величины А запишется так:

Таким образом среднее значение физической величины А меняется во времени по гармоническому закону.

б) Для стационарного состояния смотрите пункт 1. задачи 89.

97. Получите уравнение Шредингера в L-представлении, если спектр эрмитовского оператора дискретен, а его собственные функции - (₁, ₂, ..., _n...).

Ответ:

Разложим волновую функцию по собственным функциям оператора : и подставим это разложение в уравнение Шрёдингера:

(97.1)

Умножим уравнение (97.1) слева на и проинтегрируем по пространственным переменным:

(97.2)

Учитывая обозначения, введённые под фигурными скобками в уравнении (97.2), приходим к уравнению Шрёдингера, записанному в L-представлении

, (97.3)

где - волновая функция в L- представлении, а элемент матрицы гамильтониана, записанной в базисе собственных функций оператора .

98. Запишите уравнение Шредингера в энергетическом E- представлении.

Ответ:

Будем исходить из уравнения (97.3). В Е-представлении оператор , а базис является базисом собственных функций гамильтониана. Поэтому матричные элементы гамильтониана принимают следующий вид: ,

и в базисе собственных функций образуют диагональную матрицу:

Таким образом, в энергетическом представлении уравнение Шрёдингера запишется так:

99. Запишите гамильтониан для следующих микросистем:

а) Li, б) Be, в) Li₂, г) , е) Н₂О.

Ответ:

а) (99.1)

г) (99.2)

е) (99.3)

100. Покажите, что точный «Шрёдингеровский» гамильтониан молекул изомеров одинаков для всех изомеров.

Ответ.

Запишем «Шрёдингеровский» гамильтониан молекулы, содержащей n электронов и N ядер:

, (100.1)

где штрихи у двойных сумм означают, что индексы суммирования не принимают равных значений. Поскольку символы , стоящие в двойных суммах выражения (96.1)– операторы, то записанный гамильтониан не содержит фиксированных расстояний. Молекулы изомеров имеют одинаковый количественный и качественный состав и одинаковые молекулярные массы. Поэтому их гамильтонианы содержат одни и те же слагаемые, которые могут быть записаны в другой последовательности. Суммарные операторы от таких перестановок не изменяются. Это и доказывает утверждение задачи.

101. Почему гамильтонианы молекул изомеров, написанные в адиабатическом приближении, различаются?

Ответ.

В адиабатическом приближении оператор кинетической энергии ядер равен нулю, а символы в формуле (100.1) являются фиксированными межъядерными расстояниями. Эти расстояния в разных изомерах различны. Поэтому у различных изомеров слагаемые, входящие в состав их гамильтонианов и содержащие эти различные расстояния, неэквивалентны, а гамильтонианы изомеров различаются.

102. Покажите, что:

а) точный гамильтониан молекулы не меняется при перестановке любой пары частиц молекулы;

б) точный гамильтониан левой и правой частей уравнения химической реакции одинаков.

Ответ.

а) При перестановке частиц молекулы слагаемые в гамильтониане (100.1) только меняются местами, но суммы при этом сохраняются неизменными.

б) Электронно-ядерный состав молекул или других химических частиц реагентов, вступающих в реакцию, и молекул, возникающих в продуктах реакции, одинаков. Отсюда следует, что независимо от природы пар переставляемых частиц в молекулах реагентов или продуктов, в гамильтонианах левой и правой частей уравнения химической реакции слагаемые могут только изменять последовательность в суммах выражения (100.1), но суммы при этом сохраняются неизменными.

103. Покажите, что электронные гамильтонианы молекул изомеров, написанные в адиабатическом приближении, изменяются при перестановке различных ядер.

Ответ.

В адиабатическом приближении предполагается, что ядра атомов, входящие в состав молекул изомеров, зафиксированы в пространстве на разных межъядерных расстояниях. Поэтому при перестановках разных атомных ядер соответствующие слагаемые гамильтонианов изменятся.

104. Покажите, что из уравнения Шредингера следует закон сохранения массы.

105. Покажите, что из уравнения Шредингера следует закон сохранения электрического заряда.

106. Что в квантовой механике называют:

а) потенциальной ямой?

б) потенциальным барьером?

в) потенциальной стенкой?

Ответ.

Потенциальная яма

а) Потенциальной ямой называют область пространства (II), внутри которой потенциальная энергия меньше, чем за границами (I, III) этой области (II).

Потенциальный барьер

б) Потенциальным барьером называют область (II) пространства, внутри которой потенциальная энергия выше, чем за границами (I, III) области (II).

Потенциальная стенка

в) Потенциальной стенкой называют область пространства (II), отделённую от другой области пространства (1) односторонней границей.

107. Что такое условия сшивания для волновой функции и каков их физический смысл?

Ответ.

Условия сшивания волновой функции на границах областей, разделённых потенциальной стенкой, математически означают выполнение одного из стандартных условий: непрерывности волновой функции и её производной в точке, разделяющей пространство потенциальной стенкой. Физический смысл этих условии состоит в том, что плотность вероятности найти частицу в граничной точке должна иметь единственное значение.

108. Напишите уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы, имеющей энергию Е и движущейся в одном из потенциалов, приведённых на рис. 6.

Решение.

в) , где U(x) = U₀, при x < 0,

U(x) = - U₂ ·(1 - х/а) при 0  х  а,

U(x) = U₁, при х > а;

г) при том же уравнении U(x) = U₀, при x < 0; х > 2(b + R);

U(x) = 0, при 0  х  b; b + 2R  х  2(b + R);

U(x) = - , при b < x < b + 2R;

и) в этой задаче можно обойтись одной переменной: расстоянием по окружности. Тогда можно обозначить, например, l = r. Учитывая, что в одномерном уравнении Шредингера от переменной l можно перейти к переменной , то есть

,

уравнение Шредингера можно записать так:

,

где , а 0    2.

109. Обоснуйте качественно вид решений уравнения Шредингера для потенциалов предыдущей задачи. Чем отличаются решения уравнения Шредингера для систем а-г от уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Ответ.

Для потенциалов а-г, изображённых на рис.6, характерно, что, кроме случая а, эти потенциалы конечны, а в случае а потенциал бесконечен только при x<0. Это означает, что частица находящаяся в поле с этими потенциалами имеет ненулевую вероятность быть найденной во всей области пространства

- <x< (в случае а при х 0). Чтобы решить задачи такого типа придётся писать и учитывать условия непрерывности для волновой функции на всех границах и решать задачу для каждой ограниченной области. В отличии от случаев а-г частица, движущаяся в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет ненулевую вероятность пребывания только внутри ямы.

110. Придумайте одномерный потенциал, отличный от а-и задачи 101, и запишите для него уравнение Шредингера.

111. Запишите условия сшивания для волновой функции задачи 108 (и).

112. Придумайте одномерный потенциал, отличный от а-и задачи 101, и запишите для него уравнение Шредингера.

113. Какие решения временного уравнения Шредингера называют стационарными? Покажите, что такие решения получаются в том случае, когда U не зависит от времени явно.

114. Как изменится волновая функция (х, t), описывающая стационарные состояния, если изменить начало отсчета потенциальной энергии на некоторую величину U?

115. Найдите решения временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с импульсом р в положительном направлении оси Х.

116. То же, что и в предыдущей задаче, но частица движется с импульсом в произвольном направлении.

117. Покажите, что энергия свободно движущейся частицы может иметь любые значения (непрерывный спектр).

118. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Покажите, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции (0 < x < l) имеют вид:

Решение. Уравнение Шредингера внутри ямы имеет вид:

или , (1)

где . Решение уравнения (1) имеет вид

.

Коэффициенты С₁ и С₂ находим из граничных условий: (0)=0; (l)=0. Из первого граничного условия получаем С₁ = -С₂ и (х)=2i С₁ sin kx; из второго граничного условия имеем sinkl=0, kl=n, где n=1,2,... Значения n=0 отбрасываем, так как при этом значении (х) тождественно равно нулю во всех точках внутри ямы, что соответствует отсутствию такого состояния.

k = n/l ; _n(x) = Сsin (nx/l) .

Здесь мы воспользовались принципом суперпозиции, умножив (х) на постоянное число -0,5i. Коэффициент С находим из условия нормировки: dx=1, откуда , а из условия находим .

119. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию Е частицы в стационарном состоянии:

а) описываемом волновой функцией , где k - заданная постоянная, х - расстояние от одного края ямы;

б) если ширина ямы l и число узлов волновой функции (х) равно N.

120. Частица находится в одномерной потенциальной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы l. Найдите нормированные -функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы.

121. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите:

а) массу частицы, если ширина ямы l и разность энергий 3-го и 2-го энергетических уровней равна Е;

б) квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как :1, где =1,4.

114. Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найдите:

а) силу давления, которую оказывает частица на стенку;

б) работу, которую нужно совершить, чтобы медленно сжать яму в  раз.

115. Частица находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найдите вероятность пребывания частицы в области l/3 < x < 2l/3.

116. Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значении плотности вероятности местонахождения частицы равно P_m. Найдите ширину l ямы и энергию Е частицы в данном состоянии.

117. Частица массы m находится в двухмерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты x, y частицы лежат в пределах 0<x<a, 0<y<b, где a и b - стороны ямы. Найдите собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы.

118. Определите в условиях предыдущей задачи вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области 0<x<a/3, 0<y<b/3.

119. Частица массы m находится в двухмерной квадратной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равна l . Найдите значения энергии Е частицы для первых четырех уровней.

120. Частица массы m находится в основном состоянии в двухмерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию Е частицы, если максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно P_m.

121. Частица массы m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины ребер ямы равны a, b, c. Найдите собственные значения энергии частицы.

122. Что называется квантовым осциллятором? Чем отличается квантовый гармонический осциллятор от осциллятора классического?