Э. Л. Кузин

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

И КВАНТОВАЯ ХИМИЯ

100 ВОПРОСОВ И ЗАДАЧ

ПО КУРСУ

с ответами и решениями

2011

СОДЕРЖАНИЕ

1. Квантовая механика. Состояние микрочастицы 4

2. Операторы ………………………………………………………………19

3. Измерения. Соотношения неопределенности 12

4. Собственные значения и собственные функции операторов 18

5. Уравнение Шредингера. Изменение состояния со временем 20

6. Вырождение 25

7. Матричная форма уравнений 26

8. Атом водорода 26

9. Теория возмущений 28

10. Квантовая химия. Общие понятия 29

11. Метод Хартри 31

12. Метод Хартри-Фока 32

13. Приближения Хюккеля 33

14. Метод МО ЛКБФ. Метод Рутана 34

15. Теория двухъядерных молекул 35

16. -электронное приближение 40

17. Гибридизация атомных орбиталей 40

18. Индексы реакционной способности 41

19. Строение вещества. Общие вопросы…………………………………42

20. Эквивалентность одинаковых частиц………………………………...43

21. Геометрические свойства молекул……………………………………46

22. Электрические свойства молекул. Дипольный

момент. Поляризуемость……………………………………………..50

23. Электронные, колебательные и вращательные состояния

молекул и спектры……………………………………………………...55

1. Квантовая механика, состояние микрочастицы

1. Какие эксперименты, в которых наиболее полно проявились особенности поведения микрочастиц по сравнению с поведением макрообъектов, привели к необходимости создания квантовой механики?

Ответ: Одним из первых установленных парадоксальных фактов был экспериментальный факт, что при термодинамическом равновесии между атомами вещества и электромагнитным полем почти вся энергия сосредоточена в атомах, а не в поле. А что здесь парадоксального?

Рис.1.1. Три пробки, связанные пружинами, на поверхности воды в ванне.

Рассмотрим мысленный эксперимент. Поместим на поверхности воды в ванне пробки, связанные пружинами (рис.1.1). Если пробки привести в колебания, на поверхности воды возникнут волны. Их источником станут колеблющиеся пробки, передающие свою колебательную энергию волнам воды. Вследствие вязкости воды энергия волн постепенно будет превращаться в тепло. В результате пробки прекратят свои колебания, а вся их энергия будет передана окружающей среде. Невозможно представить себе, чтобы в конечном состоянии пробки интенсивно колебались, а вода не получила бы никакой энергии. Но именно так обстоит дело в случае, когда равновесие устанавливается между нагретым материальным телом и его излучением. При температуре 0⁰С внутри полости, не содержащей частиц вещества, равновесная плотность энергии будет равна 4∙10^-5 эрг/см³ (1 эрг = 10^-7 Дж), а плотность тепловой энергии внутри куска железа при той же температуре будет в 2∙10¹⁴ раз больше плотности энергии излучения. Этот поразительный факт, свидетельствующий, что при термодинамическом равновесии между колеблющимися атомами вещества и электромагнитным излучением почти вся энергия сконцентрирована в колеблющихся атомах, и только ничтожная часть энергии приходится на долю излучения, совершенно непонятен с точки зрения классической физики. Анализ этого факта привёл Планка к выводу, что классические законы излучения электромагнитных волн к атомам неприменимы, что атомы излучают свет не непрерывно, а дискретно, квантами.

Экспериментальное открытие явлений фотоэффекта также продемонстрировало парадоксальность обнаруженных закономерностей. Безынерционность фотоэффекта, зависимость скорости фотоэлектронов от частоты падающего света, а не от его интенсивности было объяснено Эйнштейном тем, что вещество поглощает свет квантами. В 1922 г. Комптон выполнил знаменитые эксперименты по рассеянию рентгеновского излучения на различных веществах. Обнаруженный им эффект изменения длины волны рассеянного рентгеновского излучения удалось объяснить тем, что свет распространяется квантами.

Если явления интерференции и дифракции света подтверждали его волновую природу, то упомянутые эксперименты, говорили о корпускулярной природе света. Это явление получило название корпускулярно-волнового дуализма света. С другой стороны Дэвиссон и Джермер выполнили серию экспериментов по отражению электронов от кристаллов никеля (1927 г.). На фотопластинках они обнаружили концентрические круги, зафиксировавшие дифракцию электронов.

Таким образом, оказалось, что корпускулярно-волновой дуализм проявлялся и у света, и у электронов. Именно необходимость объяснения корпускулярно-волнового дуализма света и частиц привела к созданию квантовой механики.

2. Что понимают под микро- и макрообъектом ?

Ответ: Микрообъект – это объект, линейные размеры которого находятся в интервале 10^-6 – 10^-14 см. Макрообъекты – это объекты соизмеримые с нами.

3. В чём состоит принципиальное отличие объектов микромира от макроскопических объектов?

Ответ: Микрочастицы проявляют корпускулярно-волновой дуализм. Поэтому координата микрочастицы и соответствующая ей проекция импульса одновременно не существуют. Это принципиально новое свойство микрочастиц по существу и приводит к специфическим свойствам микромира. Другая принципиальная особенность микромира состоит в том, что объекты микромира не могут наблюдаться с помощью органов чувств. Вся информация о микрообъектах получается с помощью приборов. Наблюдение же за микрообъектом изменяет его поведение. Эта особенность микромира заставляет (по Дираку) отказываться от наглядных моделей микросистем и определять микрообъекты на основе результатов измерений. В квантовой механике свойство микрообъектов изменять своё поведение под воздействием прибора специально учтено.

4. Что в микромире понимают под прибором?

Ответ: Прибор- это макроскопическая система, которая, взаимодействуя с микрообъектом, даёт макроскопический сигнал: отклонение стрелки, след на фотопластинке, звук, след в камере Вильсона и т.д.

5. Что в микромире понимают под измерением ?

Ответ: Измерение – это любое взаимодействие макроскопического объекта и микрообъекта, в результате которого возникает макроскопический сигнал.

6. Почему понятие микрочастицы в квантовой теории определяется на основе результатов измерений?

Ответ: Измерение - единственный источник информации о микрообъектах. Поэтому для определения микрообъектов квантовая механика использует только те понятия, которые основаны на измерениях, и только те величины, которые экспериментально измеримы.

7. Что такое электрон? Протон? Нейтрон? Ядро атома?

Ответ: Электрон - это микрообъект, масса покоя которого

m=9,1·10^-31кг; электрический заряд e=-1,6·10^-19Кл; проекция спина на некоторое выделенное направление равна и т.д. Протон, нейтрон или ядро атома определяются аналогично.

8. Почему квантовая теория пользуется вероятностным описанием поведения микрочастиц?

Ответ: Вероятностное описание явлений микромира, которое использует квантовая механика, не является её монополией. Физика макроскопических явлений в ряде случаев также пользуется вероятностным описанием явлений. Но в этих случаях вероятностное описание поведения макротел обусловлено не собственной природой макротел, а случайными воздействиями на эти макротела. Так результат попадания пули в мишень определяется наряду с другими рядом случайных факторов: психологическим состоянием стрелка, различием в весе пороха в пулях, случайными дуновениями ветра и т.д. Поэтому картинки попаданий большого числа пуль в мишени всегда будут отличаться. Вероятностное же описание поведения микрообъектов является описанием, полностью адекватным природе микрообъектов. Волновые свойства микрочастиц разной массы многократно исследовались. Эксперименты выполнялись в разное время с электронами, протонами, нейтронами, атомами гелия, молекулами водорода. Эти эксперименты показали, что каждый микрообъект способен проявить волновые свойства (см., например,[1]). Но волны микрочастиц – это не реальные (не материальные) волны. Эти волны не переносят энергии. Это волны вероятности. Поэтому в квантовой механике для описания волновых свойств микрообъектов введена специальная, волновая функция, квадрат модуля которой имеет вероятностный смысл. Поведение одинаковых микрочастиц, направляющихся к мишеням через малые отверстия, всегда будет приводить к одинаковым картинкам, так как определяется не случайными факторами, а природой этих микрочастиц.

Дополнительная литература:

1. Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика.

— М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — Т. 5. — 496 с.

2. http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_2.htm (дата

обращения 18.01.2011)

9. Чем наблюдение микрообъекта принципиально отличается от наблюдения макрообъекта?

Ответ: В макромире для наблюдения объекта могут использоваться органы чувств человека или специальные приборы. При этом считается, что прибор на наблюдаемые свойства макрообъекта видимого влияния не оказывает. Совершенствуя прибор, можно добиваться всё более полной детализации информации об объекте. Информация о микрообъекте может быть получена только с помощью прибора. Но взаимодействие прибора и микрообъекта не может быть сделано бесконечно малым. Поэтому прибор как макроскопическое устройство оказывает воздействие на поведение микрообъекта. Воздействие может оказаться достаточно сильным и должно учитываться специальным образом. Это различие настолько принципиально, что некоторые пары величин, которые в классической механике используются для описания жёсткой причинности поведения макроскопических объектов, в микромире одновременно не существуют. В качестве примера таких пар величин можно назвать координаты и импульсы микрочастицы.

10. Точечный источник S испускает монохроматические электроны, проникающие через точечное отверстие в диафрагме, находящейся на расстоянии а от S. Электроны падают на экран Э, расстояние которого до диафрагмы - b. Исследуйте дифракционную картину на экране.

Решение. Чтобы найти дифракционную картину, необходимо определить плотность вероятности попадания электронов в любую точку экрана х. Обозначим эту плотность _s1(х). Индексы S и 1 означают, что электроны попали в точку х, пройдя от источника S через точку 1 (рис. 10.1):

_s1 (х)=_s1 (х)² . (10.1)

Так как из точечного источника электроны равновероятно испускаются во всех направлениях, движение электронов можно описать сферической волной

Рис. 10.1.

У отверстия 1 имеем: t = t₁; .

. (10.2)

Волновая функция электрона, попавшего в точку х:

, (10.3)

где В = _s1.

То есть

, (10.4)

где L=(x²+b²)^. Подставляя (10.4) в (10.1), получим

_s1 (х) =_s1 (х)² = .

Максимум этого выражения находится в точке х=0. Кривая _s1(х) приведена на рис. 10.1. Амплитуда А находится из условия нормировки.

,

где R.

11. Электроны от точечного монохроматического источника S проходят через два бесконечно малых отверстия, находящихся на одинаковых расстояниях от источника L. Расстояние от S до экрана с отверстиями - l, расстояние между отверстиями - b. Найти:

1. Положение максимумов на экране Э, удаленном от экрана с отверстиями на расстояние l. Нормировать волновую функцию конечного состояния.

2. Определить  пучка электронов, если расстояние между главным и первым боковым максимумами - а.

3. Как изменится картина, если ширину 2-й щели увеличить вдвое?

4. Как изменится картина, если щели сблизить вдвое?

5. Как изменится картина, если источник поднять на высоту h?

Решение. 1. Чтобы найти интерференционную картину, необходимо состояние электрона, прошедшего через оба отверстия и попавшего в точку х экрана (Рис.11.1), представить суперпозицией:

, (11.1)

. (11.2)

Рис.11.1. Прохождение электронов через два отверстия (щели).

Если волновые функции (11.1) записать аналогично задаче 10 и подставить в (11.2), получим:

. (11.3)

При х«l; b«l; xb можно положить в амплитудах ll₁l₂ , но в фазе l₂-l₁, необходимо разницу учесть.

, (11.4)

, (11.5)

.

Отсюда

. (11.6)

Максимум _s (x) соответствует , где n=1, 2,...

1. Положение максимумов . (11.7)

2. При x₁ -x₀=a; =ав/l.

3. В этом случае А₂=2А₁=2А. Интенсивность главного максимума возрастет в 9/4=2,25 раза.

4. Интерференционная картина расширится вдвое.

5. Решение.

Рис.11.2. Прохождение электронов через два отверстия (щели), когда источник электронов поднят на высоту h относительно высоты в случае 1.

По-прежнему остаётся справедливым соотношение (11.2). Но волновые функции, образующие суперпозицию, теперь строятся из волновых функций, пришедших из точки s в точки 1 и 2:

; (11.8)

и пришедших в точку х из точек 1 и 2, соответственно:

(11.9)

где Подставляя амплитуды (11.8) в соответствующие функции (11.9), получаем:

(11.10)

. (11.11)

Подставляя волновые функции (11.10) и (11.11) и их комплексно-сопряжённые волновые функции в (11.2) и учитывая, что интерферировать могут только волновые функции, пришедшие в точку х в один и тот же момент, то есть когда t₁+t₃=t₂+t₄ получаем:

(11.12)

При х«l; b«l; xb; h«L; b«L можно положить в амплитудах ll₁l₂, LL₁L_2, но в фазе разницу L₂- L₁+ l₂-l₁ необходимо учесть. Аналогично формулам (11.4), (11.5) получим:

; L₂- L₁=bh/L;

. (11.13)

В выражении (11.13) мы заменили х на х^’, чтобы отличить эту координату от той, которая фигурировала в пункте 1. Сравнивая выражения (11.6) и (11.13), видим, что справедливо соотношение: . Отсюда новые координаты точек x’ интерференционной картины связаны со старыми координатами x соотношением:

. (11.14)

То есть, вся интерференционная картина сместится вниз на величину lh/L.

6. Найдем А из условия нормировки. Поскольку х«b, то при нормировании волновой функции имеет смысл интегрировать в пределах (-b, b). Тогда получим

.

12. Поток электронов падает на экран с двумя щелями 1 и 2 (рис.2). В точке Р расположено входное отверстие счетчика. Пусть ₁ - волновая функция частицы, достигшей точки Р, если была открыта щель 1, а ₂ - если была открыта только щель 2. Отношение ₂ /₁ =  = 3,0. Если открыта только щель 1, счетчик регистрирует N₁ =100 электронов в секунду.

Сколько электронов в секунду будет регистрировать счетчик, если:

а) открыта только щель 2;

б) открыты обе щели и в точке Р наблюдается интерференционный максимум;

в) то же, что в пункте б), но в точке Р - минимум.

1. Р

Рис. 2.

Решение.

а)

б) ;

в) .

13. Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой b=0,1 мкм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l=0,5 м, ширина центрального дифракционного максимума x=0,18 мм.

Решение.

Рис. 13.1. Дифракция электронов на щели b.

Неопределённость в координате электрона Δx₀~b. В соответствии с соотношением неопределённости для координаты и одноимённой проекции импульса имеем: Δp_x~h/b.

Из рис. 13.1 видно, что

Подставляя сюда числовые данные, получим:

Ответ: =2hl/mb(-b) 4,0410⁴ км/с.

14. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенцииалов V=25 в, падает нормально на диафрагму с двумя малыми отверстиями, расстояние между которыми b=50 мкм. Определить расстояние между главным и первым боковым максимумом интерференционной картины на экране, расположенной на расстоянии l=1 м от диафрагмы.

Решение.

В задаче 11, аналогичной рассматриваемой, найдено, что координаты максимумов (x_n) интерференционной картины подчиняются формуле (11.4):

, (14.1)

где h- постоянная Планка; l- расстояние от диафрагмы с отверстиями до экрана; p- импульс частиц; b – расстояние между отверстиями диафрагмы; n- номер бокового максимума: n=0,1, 2,... Для искомого расстояния Δx₁=x₁-x₀ имеем:

. (14.2)

Кинетическая энергия, приобретённая электронами в электрическом поле с разностью потенциалов V=25 в, определяется равенством: Т=p²/2m=eV, где m- масса, а e-заряд электрона. Находя из последнего равенства импульс электрона и подставляя найденное выражение в (14.2), получаем:

(14.2)

Подстановка числовых данных приводит к следующему результату:

Ответ: 5 мкм.

15. Проходя через отверстие, электроны попадают на один из трех участков экрана: А, В, или С. На участок В они попадают чаще, чем на участки А или С. Вы собираетесь пропустить через отверстие очередной электрон. Ответьте на вопросы:

1. Можно ли предсказать, куда попадет электрон?

2. В какой из участков - А, В или С вероятность попадания наибольшая?

Ответ: 1. Только с некоторой вероятностью.

2. Наиболее вероятно попадание электрона на участок В.

16. Сформулируйте постулат о состоянии квантовой системы. Что такое волновая функция? От чего она зависит?

Ответ: Состояние микрочастицы или какой–либо квантовой системы описывается вспомогательной функцией Ψ, называемой волновой. Это положение называется постулатом о состоянии микрочастицы или квантовой системы. Знание волновой функции позволяет вычислить любую физическую величину, характеризующую квантовую систему и вероятность появления этой величины в любой заданный момент времени, если эта величина может быть измерена (то есть, существует). Волновая функция может содержать в качестве переменных, от которых она зависит, столько пространственно-временных и (или) импульсно-энергетических переменных, сколько может быть найдено операторов, коммутирующих между собой и с гамильтонианом системы.

17. Почему волновые свойства частиц обнаружены в явлениях атомного масштаба? Можно ли в рамках квантовой теории описывать движения макротел? Вселенной?

Ответ: По формуле длины волны де Бройля где h- постоянная Планка, m- масса, а ν- скорость частицы, нетрудно подсчитать длину волны мяча массой 0,1кг, движущегося со скоростью 10 м/c: =6,62∙10^-25нм. Эта длина волны не может быть зафиксирована приборами по малости, в то время, как длина волны электрона, движущегося со скоростью 100 км/c составляет величину 7нм, соответствующую рентгеновскому излучению, которое может быть зафиксировано приборами.

Движение макротел принципиально можно описать в квантовой теории, но это описание громоздко и им никто не пользуется.

Эволюция же Вселенной является предметом исследования и интерпретации квантовой теории.

18. Что означают координаты x, y, z в волновой функции  (х, y, z). Чем эти координаты отличаются от координат частицы в макромире?

Ответ: Координаты, от которых зависят волновые функции микрообъектов, являются не координатами самих объектов, а координатами точек пространства. В отличие от координат в макромире, координаты, определяющие волновую функцию, являются независимыми переменными, в том числе и от времени. Эти координаты выбираются по усмотрению исследователя. Смысл этого в том, что в выбранной точке волновая функция позволяет найти плотность вероятности пребывания частицы.

19. Как в квантовой механике понимается классическое выражение “Частица движется”?

Ответ: В микромире частицы не движутся по траектории. Поскольку волновые функции частицы непрерывны и определены в каждой точке пространства в каждый момент времени, то существует ненулевая вероятность найти частицу в объёме V, окружающем выбранную произвольно точку c координатами x, y, z в каждый из моментов времени. Эта вероятность определяется выражением:

Для бесконечно-малого объёма dV эта вероятность определяется так:

Обе эти вероятности зависят от времени. Таким образом, под движением микрочастицы понимается движение (изменение) её вероятности в пространстве и во времени.

20. Волновая функция позволяет получить полную информацию о квантовой системе. Что это значит?

Ответ: Это значит, что, используя известную волновую функцию, можно рассчитать все величины, которые можно найти экспериментально, и вероятности их появления.

21. Может ли квантовая частица покоиться? Почему?

Ответ: Не может. Это противоречило бы принципу неопределённости. Действительно, у покоящейся частицы одновременно определённые значения имеют координаты и компоненты скорости (импульса).

22. Обязательно ли использование -функции в аппарате квантовой механики? Всегда ли -функции имеют математический вид волн? Приведите примеры, подтверждающие Ваши утверждения.

Ответ: Целой замкнутой системе всегда может быть сопоставлена волновая функция. Однако если попытаться целую неразделимую систему представить себе состоящей из двух подсистем А и В, то оказывается, что каждую из подсистем, строго говоря, уже нельзя описать волновой функцией. Примером такой системы может служить молекула, находящаяся в термодинамическом равновесии с окружающим её газом. Для описания состояния такой молекулы необходимо использовать более сложный математический объект, называемый матрицей плотности.

Волновые функции не обязательно имеют математический вид волн. Например, волновая функция единственного электрона атома водорода в нижнем (основном) 1s -энергетическом состоянии имеет вид:

где К=const; a-радиус первой Боровской орбиты, r-сферическая координата. Эта функция, конечно же, не волна.

23. Каким условиям должна удовлетворять волновая функция частицы? Какой физический смысл имеют стандартные условия: непрерывности, однозначности, ортогональности, нормированности  ?

Ответ: Волновая функция должна быть однозначной, непрерывной, конечной во всей области определения, двукратно дифференцируемой, а на бесконечности обращаться в нуль. Эти условия, называемые стандартными, необходимы по физическому смыслу волновой функции. Непрерывность волновой функции необходима для того, чтобы микрочастица или система имела вероятность быть найденной в бесконечно малом объёме, окружающем любую точку пространства. Однозначность волновой функции необходима для того чтобы каждой точке пространства могло соответствовать только одно значение вероятности. Конечность и равенство нулю волновой функции на бесконечности обеспечивает значения вероятности пребывания частицы в пространстве между нулём и единицей. Двукратная дифференцируемость волновой функции необходима для того, чтобы выполнялось уравнение Шрёдингера. Нормированность волновой функции обеспечивает значения вероятности между нулём и единицей.

24. Какой физический смысл можно увидеть в том, что -функция свободной частицы не нормируется обычным образом? Какой физический смысл в нормировке волн де Бройля по Борну?

Ответ: Свободная частица –это абстракция. Реальность не содержит свободных частиц. Поэтому, волновая функция свободной частицы (волна де Бройля), как волновая функция, описывающая несуществующую в реальности частицу, не нормируется обычным образом. Способ нормировки волн де Бройля, предложенный М. Борном, рассматривает движение частицы в искривлённом пространстве, неявным образом вводит движение частицы в гравитационном поле. Эта модель ближе к реальности и потому позволяет нормировать волновую функцию.

25. Сформулируйте принцип суперпозиции полей, волн, сил и т.д.

Ответ: Если векторное поле образовано двумя векторными полями, то вектор результирующего поля в каждой его точке находится геометрическим сложением векторов составляющих полей в каждой точке. Аналогичные формулировки могут быть даны для суперпозиции векторов сил, скоростей, ускорений и т.д.

26. Пусть r - расстояние до некоторой фиксированной точки, которое может принимать значения от 0 до . Волновая функция частицы имеет вид Ae^r. Любые ли значения r допустимы?

Ответ: Ответ зависит от значения . Если <0 или - мнимая величина, r- может принимать любые положительные значения.

27. Может ли функция e^r быть волновой функцией? А функция e^ir? Почему? Может ли функция аrcsin x быть волновой функцией?

Ответ: На первые два вопроса ответ см. в вопросе 26. Функция arcsinx может быть волновой функцией, если ограничить эту функцию так, чтобы была обеспечена её однозначность. Для этого должно выполняться условие: .

28. Пусть  - угол, определяющий положение точки на окружности. Нужны ли какие-либо ограничения на функцию = e^im , чтобы она могла быть волновой функцией? m=1, 2,...

Ответ: Необходимость обеспечения однозначности волновой функции заставляет потребовать её периодичности:

При декларированных в условии задачи значениях m этот критерий выполняется автоматически.

29. Какое выражение характеризует плотность вероятности найти частицу с координатами x, y, z?

Ответ:

30. Чем отличается плотность вероятности от вероятности? Какова вероятность найти частицу в точке x₀, y₀, z₀? А плотность вероятности?

Ответ: Элементарная вероятность определяется выражением: . В точке объём . Поэтому вероятность найти микрочастицу в точке всегда равна нулю. Плотность же вероятности характеризует ненулевую вероятность найти микрочастицу в единице объёма, окружающего точку с выбранными координатами x,y,z.

31. Какие эксперименты указывают на невозможность классического описания движения микрочастицы?

Ответ: Назовём

1. эксперименты по фотоэффекту, которые обнаружили

а. его «непонятную» безинерционность;

б. так называемую «красную границу» фотоэффекта;

в. независимость фотоэффекта от интенсивности падающего

света.

2. опыты Дэвиссона и Джермера по рассеянию электронов на кристаллах, продемонстрировавших их волновые свойства.

3. эффект Комптона по увеличению длины волны коротковолнового излучения, наблюдаемый при рассеянии рентгеновских лучей на электронах лёгких атомов, продемонстрировавшие корпускулярные свойства излучения.

32. Состояние микрочастицы характеризуется волновой функцией

 = А exp px.

Какая из следующих функций (1, 2) описывает другое состояние частицы?

 = А exp p x , (32.1)

 = А exp p x . (32.2)

Ответ: Функция (32.1). Этой функции соответствует другое ( ) постоянное значение импульса.

33. Для чего введен принцип суперпозиции состояний в квантовой механике?

Ответ: Принцип суперпозиции состояний был введён для того, чтобы устранить противоречие между корпускулярным и волновым описанием явлений.

Этот принцип позволил проанализировать волновые явления в терминах корпускулярных представлений. Например, наука столкнулась с необходимостью объяснить такие типичные волновые явления, как дифракция электронов, интерференция фотонов, прохождение фотона через поляризатор и т.д. При этом пришлось отказаться от некоторых классических понятий, таких, например, как лапласовский детерминизм, траектория движения микрочастиц, импульс частицы в точке и др., неприменимых к микропроцессам. Тем самым принцип суперпозиции состояний был положен в основу физического содержания квантовой механики и определил её математический аппарат.

34. (30) Какой математический смысл имеет утверждение, что умножение волновой функции на любую постоянную С не меняет состояние системы?

Ответ: Волновая функция может рассматриваться как вектор в Гильбертовом пространстве. Тогда утверждение принципа суперпозиции о том, что умножение волновой функции на любое постоянное число С не меняет состояние системы означает, что состояние микросистемы определяется только направлением, а не длиной вектора. Это утверждение важно в том отношении, что позволяет проводить нормировку волновой функции умножением её на нормировочный множитель.

35. (31) Будет ли суперпозиция двух разных волн Де Бройля описывать состояние с определенным импульсом и энергией?

Ответ: Суперпозицию

невозможно представить в виде одной экспоненты с одним значением импульса и энергии.