4. Собственные значения и собственные функции операторов

77. (73) Пусть . При каком значении L_n функция _n = sin nx является решением уравнения _n = L_n_n ?

Решение. Подействуем оператором на _n .

n cos nx = - n² sin nx; L_n = - n².

78. (74) Покажите, что собственной функцией оператора предыдущей задачи является функция (x) = с₁ sin nx + с₂ cos nx, где с₁ и с₂ - произвольные постоянные.

Решение. Подействуем оператором на (x):

что и требовалось доказать.

79. (75.) Найдите собственные функции операторов:

а) ; б) .

Решение.

а) (75.1)

Поскольку оператор зависит от одной переменной частная производная в уравнении (1) может быть заменена на полную. Разделяя переменные, получаем искомую собственную функцию :

;

.

б)

(75.2)

Применяя к функции (75.2) условие периодичности получаем:

(75.3)

Отсюда находим, что

;

Из условия нормировки , нетрудно получить иско-

мую нормированную собственную функцию:

80. (76) Найдите собственные значения и собственные функции оператора , если для оператора они равны E_n и _n .

Решение.

Запишем уравнения Шрёдингера для стационарных состояний с каждым из гамильтонианов:

, (76.1)

(76.2)

Возведём левую и правую части уравнения (76.1) в степень (-1). Получим:

; или

(76.3)

Сравнивая уравнения (76.3) и (76.2), находим искомые собственные значения и собственные функции:

81. (77) Покажите, что две разные собственные функции эрмитовского оператора ортогональны.

Решение.

Запишем уравнения на собственные функции оператора для разных собственных функций :

(77.1)

(77.2)

Умножим уравнение (77.1) слева на , а уравнение / комплексно-сопряжённое уравнению (77.2) слева на и проинтегрируем каждое:

(77.3)

(77.4)

Вычитая из уравнения (77.3) уравнение (77.4) и учитывая, что интегралы в левых частях упомянутых уравнений равны по условию эрмитовости оператора , получаем:

(77.5)

Так как , то интеграл в (77.5) равен нулю, что и доказывает ортогональность разных собственных функций эрмитовского оператора.

82.(78.) Покажите, что волна де Бройля является собственной функцией оператора кинетической энергии частицы .

Решение.

Учитывая, что действие оператора на функцию аналогично действию оператора дифференцирования, прямым действием оператора на функцию получаем

Таким образом, действительно волна де Бройля является собственной функцией оператора кинетической энергии с собственным значением .

83. (79.) Покажите, что волны де Бройля и ортогональны, но относятся к одному и тому же собственному значению . Каков физический смысл вырождения состояний оператора кинетической энергии?

Решение.

84.(80.) Эрмитовский оператор задан в виде матрицы , где a, b и d-действительные числа. Определите собственные значения и собственные функции оператора .

Решение. Симметричная действительная матрица второго порядка приводится к диагональному виду преобразованием подобия с матрицей поворота на угол α плоской декартовой системы координат так: , то есть:

(80.1)

Чтобы найти угол поворота α необходимо по формуле (80.1) найти недиагональный элемент матрицы и приравнять его нулю. Для этого достаточно в формуле (80.1) найти первую строку матрицы произведения матриц и F и перемножить эту строку на столбец матрицы P. Тогда получим:

(80.2)

;

(80.3)

Подставив значение угла (80.3) в формулу (80.1) и выполнив действия, получим матрицу, на главной диагонали которой будут стоять собственные значения оператора . C другой стороны, матрица эрмитовского оператора приводится к диагональному виду преобразованием подобия (80.1) с матрицей собственных векторов. Это значит, что в данном случае матрица P и есть матрица двух собственных векторов матрицы F. Нетрудно проверить, что разные строки матрицы Р ортогональны между собой, а каждый вектор-строка нормирован к единице. Простым перемножением матриц (80.1) нетрудно получить также, что собственные значения оператора ( и ) вычисляются по формулам:

(80.4)

85. (81.) Покажите, что если оператор симметрии системы оставляет неизменным гамильтониан, то состояния системы вырождены.

Решение.

Запишем уравнение на собственные значения и собственные функции некоторого оператора :

(81.1)

Наличие симметрии у системы означает, что выполнение операции симметрии переводит систему в саму себя. Это означает также, что при выполнении операции симметрии оператор не изменяется, и, следовательно, операторы и коммутируют:

. (81.2)

Подействуем теперь оператором симметрии слева на уравнение (81.1):

. (81.3)

В левой части уравнения (81.3) операторы и можно переставить местами по свойству (81.2). В правой части (81.3) линейность оператора позволят вынести за знак собственное значение F. В результате, вместо (81.3) получим

(81.4)

Но действие оператора на волновую функцию переводит её в другую функцию: . В результате, вместо (81.4) получаем

(81.5)

Из уравнений (81.1) и (81.5) видим, что одному собственному значению F

соответствует две собственные функции и . Таким образом, действительно, наличие симметрии у системы привело к вырождению состояния.

86. (82) Какой физический смысл имеет ортогональность собственных функций эрмитовского оператора? А нормированность?

Ответ.

Физический смысл ортогональности собственных функций эрмитовских операторов состоит в том, что разные квантовые состояния, которые описываются разными собственными функциями оператора, физически не взаимодействуют между собой, то есть не оказывают физического влияния друг на друга. Это проявляется в том, что, если микросистема находится в одном из пары рассматриваемых собственных состояний, то при измерении физической величины, изображаемой эрмитовским оператором, достоверно будет получено собственное значение оператора, соответствующее данному собственному состоянию. Собственное же значение оператора, соответствующее другому из пары рассматриваемых состояний, всегда будет иметь вероятность появления, равную нулю.

Физический смысл нормированности собственных функций оператора состоит в том, что вероятность получить при измерении собственное значение оператора, соответствующее конкретному собственному состоянию, приготовленному к измерению, равна единице.

87. (83) В чём состоит физический смысл вырождения собственных функций оператора ?

Ответ.

Математически вырождение собственных функций оператора проявляется в том, что каждому собственному значению оператора

соответствует 2l+1-число состояний с разными магнитными квантовыми числами , соответствующими спектру возможных значений проекций ( ) на ось Z орбитального момента частицы или системы. В задаче 81 (85) показано, что физически вырождение возникает тогда, когда система обладает какой-либо симметрией. Атом обладает осевой симметрией. Ось симметрии обычно называют осью Z.

Одна из особенностей микросистем, отличающая их от соответствующих макросистем, состоит в том, что в пространстве направления векторов моментов в микромире не определены. Связано это с тем, что операторы проекций моментов не коммутируют: Поэтому три проекции момента одновременно не существуют. Определённой является только одна

проекция (её называют обычно M_z ). Другая особенность микросистем проявляется в том, что проекции орбитального момента на ось Z принимают дискретный набор значений. Число этих значений, как отмечено – (2l+1). Чтобы представить себе это наглядно, считают, что вектор момента прецессирует (описывает конусообразную поверхность) вокруг оси Z. Физический смысл вырождения состоит в том, что вектор момента может ориентироваться в пространстве дискретным числом способов так, что длина его остаётся постоянной M_l , а проекции момента вместе с соответствующими волновыми функциями принимают 2l+1-значений.