3. Измерения. Соотношения неопределенности

49. (45) Сформулируйте постулат об измерении.

50. (46) Пусть микрочастица находится в состоянии  . Какова должна быть эта функция, чтобы некоторая физическая величина L в результате измерения не давала разброса значений?

Ответ: Физическая величина L будет иметь определённое значение, если состояние, в котором находится микрочастица, является собственной функцией оператора соответствующей физической величины.

51. (47) Как узнать теоретически, дает ли в состоянии  величина L разброс значений?

Ответ: Надо подействовать оператором на функцию ψ и выяснить, является ли она собственной функцией этого оператора. Если является собственной функцией, разброса значений при измерениях не будет.

52. (48) Пусть при единичном измерении интересующей нас величины L мы получили значение L=L_k. Можно ли на основании этого утверждать, что до этого измерения частица находилась в таком состоянии, что L равнялась L_k?

Ответ: Нет, нельзя. Существует неравная нулю вероятность получить при измерении значение L=L_k, даже если система находится в произвольном состоянии, не совпадающем ни с одним собственным состоянием системы.

53. (49) Пусть частица находится в состоянии  (x,t), а функции  _n(x) являются собственными функциями некоторого оператора . Запишем разложение:

. (53.1)

Ответьте:

а) зависят ли коэффициенты С_n от х?

б) зависят ли коэффициенты С_n от t?

в) какой физический смысл имеют коэффициенты С_n?

г) как из (1) выразить С_n?

д) каковы математические основы записи (1)?

е) что является физической основой записи (1)?

Ответ:

г) По теореме обращения интеграла Фурье коэффициент С_n определяется

выражением:

(53.2)

Из вида интеграла ясно, что

а) коэффициенты С_n не зависят от x;

б) коэффициенты С_n зависят от t;

д) математическую основу записи (1) составляет возможность разложения

вектора  по базису ;

е) физической основой записи (1) является принцип суперпозиции со-

стояний;

в) квадрат модуля равен вероятности получить при измерении величину .

54. (50) Частица находится в состоянии

,

где - собственные функции оператора .

Ответьте:

а) какие величины будут получаться при измерении L?

б) какова вероятность получить при измерении значения L₁, L₂, L₃, L₄, L₅, L₆, L₇?

Ответ:

а) Только величины L₁, L₄ или L₆.

б) Вероятность получить при измерении величину равна квадрату модуля коэффициента разложения состояния по базису . Таким образом, для искомых вероятностей получаем значения:

55. (51) Волновая функция частицы не удовлетворяет уравнению

.

Может ли в результате измерения получиться величина L_k? С какой вероятностью?

Ответ: Может, если в разложении состояния по базису собственных функций оператора с ненулевым коэффициентом разложения встретится слагаемое . В этом случае вероятность получить при измерении величину L_k будет равна .

56. (52) Общей собственной функцией операторов и электрона в атоме является функция:

.

Каковы следствия этого факта? Каков будет результат измерения и ?

Ответ: Отметим два следствия этого факта:

1) операторы и коммутируют;

2) Величины и одновременно существуют и могут быть измерены одновременно точно.

Поскольку собственная функция оператора имеет вид , а в данном случае m=2, то , , а .

57. Пусть величина в некотором состоянии может принимать два значения - L₁ и L₂. Будут ли вероятности их одинаковы?

Ответ: Однозначного ответа не существует. Всё зависит от волновой функции микрообъекта. Если коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора будут равны ( ), то вероятности определения величин L₁ и L₂ будут равны.

58. Можно ли одновременно точно измерить полную энергию частицы Е и ее потенциальную энергию U? Кинетическую энергию Т и потенциальную U?

Ответ: Поскольку операторы пар величин Е и U, T и U не коммутируют (см. также задачу 44 (48)), то названные пары величин относятся к канонически сопряжённым и не могут быть измерены одновременно точно.

59. Могут ли одновременно точные значения иметь величины x и p_х?

Ответ: В задаче 42 (46)а) показано, что операторы и не коммутируют. Поэтому величины x и p_x не могут иметь одновременно определённых значений.

60. (56) Показать, что измерение координаты x частиц с помощью узкой щели шириной b вносит неопределенность в их импульсы р_х такую, что

.

Решение. Измерение координаты x частиц путем сужения щели b приводит к дифракции частиц (рис. 3), при которой появляется неопределенность в импульсе р_х вдоль оси x: р_х  , где  - неопределенность в де бройлевской длине волны частицы, имеющая порядок b. Чем меньше шири-

на щели, тем меньше  и больше р_х  . Неопределенность в координате частицы   b. Отсюда:

х · р_х  h

.

Рис. 60.1.Неопределённость в импульсе частицы, проходящей

через щель шириной b.

61. (57) Плоский поток частиц падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, образуя на экране дифракционную картину (рис. 4). Показать, что попытка определить, через какую щель прошла та или иная частица (например, с помощью введения индикатора И), приводит к разрушению дифракционной картины. Для простоты считать углы дифракции малыми.

Х



z I(x)

И

Рис. 61.1

Решение. Сравним неопределённость p_x, вносимую при измерении индикатором И, с той (p^’_x), которая необходима, чтобы дифракционная картина не разрушилась. Чтобы установить, через какую щель прошла частица, ее x-координата должна быть определена индикатором И с погрешностью х < , где d - расстояние между щелями. Это значит, что в соответствии с принципом неопределенности измерение вносит неопределенность p_x в p_x- проекцию импульса

р_х  . Но условие того, что дифракционная картина не разрушится, состоит в следующем: р_х << p, где р_х  h/, а  - де Бройлевской длина волны частицы; причём  = /d. Таким образом, р_х<<h/d, а вносимая индикатором неопределенность - р_х >> р_х , то есть много больше той, при которой дифракционная картина сохранилась бы.

62. (58.) Сравнить скорость электрона на первой Боровской орбите с неопределенностью скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома порядка 0,1 нм.

Решение. Неопределенность в координате электрона х  1 = 0,1 нм, тогда v_х  h/ml  10⁶ м/с. Скорость же электрона найдем из условия Бора о том, что в первой орбите электрона должна укладываться одна длина волны, т. е.  = 2r = h/mv; v = h/mr  10⁶ м/c, т. е. v  v.

63. (59.) Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,1 нм.

Решение.

,

 150 Эв.

64. (60) Электрон с кинетической энергией Т = 10 эв локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона.

Решение. Оценим неопределённость координаты электрона в половину линейной области его локализации: неопределённость в скорости электрона оценим из принципа неопределённости:

Из кинетической энергии электрона находим его скорость . Находим

:

65. (61) Оценить минимальную энергию Е_min гармонического осциллятора, имеющего массу m (потенциал U=kx²/2, частота =(k/m)^1/2), используя соотношение неопределенности.

Решение. Поскольку соотношения классической механики в квантовой механике выполняются для средних значений, для среднего значения полной энергии одномерного квантового гармонического осциллятора имеем выражение:

(1)

Так как неопределённость величины ΔL не больше самой величины L, можно записать: Тогда (1) примет вид:

(2)

Учтём принцип неопределённости

(3)

Подставив (3) в (2) и вводя обозначение , получаем:

(4)

Минимум выражения (4) соответствует равенству нулю производной . Легко получить из этого равенства соотношение (5)

(5)

Подставляя (5) в (4), получаем искомое минимальное значение энергии осциллятора . Эта энергия называется энергией нулевых колебаний осциллятора.

66.(62) (Оценить с помощью соотношения неопределенности энергию связи электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее расстояние электрона до ядра.

Решение. Энергия электрона Е = .

Так как r - размер области локализации электрона, для оценки р имеем рh/r.

Е  .

Найдем min этого выражения: (Е/r) = 0.

; r_min = =a=0,529 - радиус первой Боровской орбиты.

Е_св -mе⁴/2h² = - 13,6 Эв.

67. (63) Оценить минимальную возможную энергию электронов в атоме Не и соответствующее расстояние от электрона до ядра.

Решение. Обозначим заряд ядра Ze, а размеры областей локализации электронов - r₁ и r₂. Тогда для оценки импульсов имеем: p₁  h/r₁; p₂  h/r₂, так что кинетическая энергия электрона -

.

Примечание:

.

Для энергии взаимодействия между электронами примем поэтому величину порядка е²/(r₁ + r₂).

Е(r₁ ; r₂) =

Считая r₁ = r₂ и используя (Е/r₁) = 0, находим:

13,6 Эв.

68. (64) Атом испустил фотон с длиной волны =600 нм за время =18^-8 с. Оценить неопределенность х, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения, а также относительную неопределенность его длины волны.

Решение. хс = 3 м; (/) = с/; Еt = hc/  h;   с.

69. (65) Монохроматический параллельный пучок электронов с энергией Е=100 эВ нормально падает на диафрагму, в которой узкая щель (рис. 69.1). На расстоянии L=100 см от диафрагмы расположен экран. Оцените ширину щели, при которой ширина изображения на экране будет минимальной.

Решение. Пусть b - ширина щели, а  - уширение, связанное с неопределенностью импульса р_у, вызванного дифракцией прохождения через щель. Положив у  b,имеем:

p = ; р  h/b,

 = L = L ,

 =  + b = b +  2b = 8,8 мкм,

= 0; = 1 - ; b =  4,4 мкм.

’

р р  







Е b b

L

Рис. 69.1.

70. (66) Проверьте принцип неопределенности на примере основного состояния электрона в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

Решение. Энергия частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками характеризуется соотношением:

,

где n=1,2,… - квантовое число; m – масса частицы; l- ширина потенциальной ямы. Для основного состояния частицы n=1, а энергия равна . Частица внутри ямы свободна, полная энергия частицы является кинетической энергией. Импульс частицы имеет постоянное значение и равен . Неопределённость в координате частицы не больше ширины ямы: , а неопределённость в импульсе не больше величины импульса . Подставляя величины и в соотношение неопределённости, получаем: . Принцип неопределённости выполняется.

71. (67) Пользуясь принципом неопределенности, оцените энергию основного состояния иона Li⁺.

Решение. Ион Li⁺ имеет два электрона, находящиеся на орбиталях 1s одного слоя. Примем, что электроны характеризуются неопределённостями в радиусах и скоростях одного порядка: Δr~r; Δν~ν. Среднее значение энергии иона складывается из среднего значения кинетической энергии двух электронов, среднего значения энергии притяжения пары электронов к ядру с зарядом +3 и средней энергии отталкивания между ними:

. (1)

Из оценок неопределенностей Δr~r и Δν~ν, самого соотношения неопределённости Δr∙mΔν~h и формулы (1) имеем:

(2)

Условием минимума среднего значения энергии является равенство нулю производной :

; (3)

Из уравнения (3) находим:

(4)

Подставив значения (4) в (2), получаем:

Указание. При численных расчётах не забывайте учесть электрическую постоянную вакуума.

72. (68) Какая неопределенность в энергии частицы массой m возникает при ее локализации в области размером l см?

Решение. Так как частица локализована в области с линейными размерами l см, то для оценки неопределённости импульса частицы имеем: . Тогда неопределённость в энергии частицы может быть оценена выражением:

73. (69) Частица массой m движется в одномерной прямоугольной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Неопределенность в координате частицы х = l, импульс же частицы известен точно из ее полной энергии. Не противоречит ли это неравенству Гейзенберга?

Решение. Нет, не противоречит. Это показано в задаче 66 (70)

74. (70) Не противоречит ли принципу неопределенности состояние электрона в атоме с нулевым моментом количества движения?

Решение. Запишем выражение для оператора кинетической энергии микрочастицы (электрона), движущегося в поле центральных сил, в сферической системе координат: . (1)

Анализируя выражение (1) можно увидеть, что, если собственное значение оператора равно нулю (в состоянии с орбитальным квантовым числом l=0), то в операторе кинетической энергии (1) ещё остаётся ненулевое слагаемое, связанное с движением вдоль радиуса r ( ). Это слагаемое обеспечивает ненулевое значение энергии частицы и обеспечивает непротиворечивость ситуации относительно принципа неопределённости.

75. (71)Оцените величину кулоновского отталкивания электронов в атоме Не.

76. (72) Два атома водорода сближаются из бесконечности на конечное расстояние. Как изменяются уровни энергии в системе?