2. Операторы

36. (32) Почему математический аппарат квантовой механики использует операторы? Что называется оператором? Сформулируйте постулат об операторах.

Ответ: Вероятностное поведение объектов микромира приводит к необходимости вычислять средние значения различных физических величин. Вычисление средних значений физических величин, зависящих от одной группы переменных, через волновые функции, зависящие от другой группы переменных, приводит к появлению операторов. Например, вычисление среднего значения вектора импульса через волновые функции, зависящие от координат, приводит к необходимости использования оператора импульса:

.

Оператор - это символ, устанавливающий соответствие между функциями или между векторами. Символически это можно записать так:

или

В квантовой механике принимается следующий постулат: «Каждой динамической переменной классической механики, в квантовой механике сопоставляется линейный, самосопряжённый оператор». Этот переход от величин к операторам называют первичным квантованием.

37. (33) Почему операторы квантовой механики должны быть линейными?

Ответ: Линейность операторов необходима для того, чтобы выполнялся принцип суперпозиции. В частности, для того, чтобы волновые функции и

описывали одно и то же состояние.

38. (34) Проверьте, линейны ли операторы :

а) d/dx; б) id/dx; в) x+d/dx; г) ;

д) оператор комплексного сопряжения; е) .

Решение:

г) Оператор зависит от двух переменных. После интегрирования по первым переменным интеграл, а значит и оператор , будет зависеть только от вторых переменных ( ) и действовать только на вторые переменные. Для проверки линейности оператора подействуем оператором на скобку ( ). Поскольку постоянные могут быть вынесены за знак интеграла, поучаем:

.

Это и есть условие линейности.

д) оператор комплексного сопряжения у каждого члена, стоящего за ним выражения, меняет i на –i: .Подействуем этим оператором на скобку . Получаем:

.

Из последнего равенства следует, что условие линейности оператора не выполняется (коэффициенты вынесены со знаком комплексного сопряжения).

39. (35) Почему операторы квантовой механики должны быть эрмитовыми?

Ответ: Эрмитовость (самосопряжённость) операторов квантовой механики необходима потому, что только операторы этого класса приводят к действительным средним значениям физических величин.

3640. () Проверьте, являются ли эрмитовыми операторы:

а) d/dx; б) id/dx; в) ; г) ;

д) , где .

Решение. В каждом из случаев а-д необходимо проверить условие эрмитовости оператора:

.

б)

Здесь проведено интегрирование по частям и учтено, что на границах области интегрирования ( в данном случае на - и  ) волновая функция обращается в нуль. Полученное соотношение показывает, что условие эрмитовости выполняется.

в) Постоянный множитель перед знаком производной не влияет на эрмитовость оператора. Поэтому будем проверять на эрмитовость оператор второй производной.

Условие эрмитовости выполняется.

41. (37) Найти операторы:

a) ; б) ; в) .

Решение. Чтобы получить сложный оператор или выполнить действия с ним, необходимо подействовать оператором на волновую функцию, произвести действия, а в результате волновую функцию отбросить.

а) =

= =

.

б)

42. (38) Подействуйте оператором на функцию:

Решение.

=

.

39. (43) Найдите операторы и :

а) в сферической системе координат;

б) в цилиндрической системе координат.

Решение.

а) оператор в декартовой системе координат имеет вид:

. (43.1)

Чтобы преобразовать его в сферическую систему координат, необходимо учесть следующее:

1. Координаты x и y зависят от каждой из трёх сферических координат

(43.2)

(43.3)

2. Частные производные, входящие в соотношения (43.1), выражаются формулами

(43.4)

(43.5)

3. Частные производные от сферических координат по декартовым координатам x и y, которые входят в выражения (43.4; 43. 5), имеют вид

(43.6)

(43.7)

Подставив (43.6; 43.7) в (43.4; 43.5), а (43.2-43.5) в (43.1) после преобразований получим:

44. (40) Оператор квадрата углового момента в сферической системе координат имеет вид: . Запишите оператор в явном виде и подействуйте оператором на следующие функции :

а) ; б) ; в) .

Решение. Оператор имеет следующий вид:

.

Рассмотрим действие этого оператора на функцию б):

Учитывая линейность операторов и действие операторов производных только на функции своих переменных, можно равенство продолжить так:

Поскольку переменные в волновой функции разделились, а каждый оператор зависит только от одной переменной, частные производные можно вычислять как полные. Тогда получаем

45. (41) Найдите операторы, переводящие одни функции в другие:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

в) Разложим в ряд в точке .

,

где .

Учтем, что ; тогда , где е, возведенная в степень оператора, подразумевает разложение степени в ряд.

46. (42) Найдите коммутаторы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: Так как коммутатор - сложный оператор, для его получения необходимо воспользоваться правилом, сформулированным в начале решения задачи 37 а). Раскроем коммутатор и подействуем им на волновую функцию.

а)

. б)

Отбросив волновую функцию, в результате имеем:

47. (43) Покажите, что коммутатор .

Решение:

Запишем явный вид коммутатора в сферической системе координат:

.

Из вида операторов следует, что оператор коммутирует с оператором

, так как у них разные переменные. По этой же причине оператор коммутирует с оператором . Поскольку сам с собой любой оператор коммутирует, то оператор коммутирует с оператором . Таким образом, оператор коммутирует с каждым из слагаемых оператора . Следовательно, в избранной нами системе координат операторы и коммутируют, и коммутатор . Поскольку условия коммутации не зависят от выбора системы координат, то можно утверждать, что равенство нулю коммутатора справедливо и в любой другой системе координат.

48. (44) Коммутирует ли гамильтониан частицы с оператором импульса, оператором потенциальной энергии?

Ответ:

В общем случае не коммутирует, так как оператор потенциальной энергии, являющийся функцией координат и являющийся составной частью гамильтониана, не коммутирует с оператором импульса. Только гамильтониан свободной частицы (то есть, оператор кинетической энергии) коммутирует с оператором импульса. Так как оператор кинетической энергии всегда входит в состав гамильтониана и не коммутирует с оператором координаты, гамильтониан не коммутирует с оператором потенциальной энергии, за исключением случая, когда оператор постоянен: