§ 100. Влияние кривизны планеты на фотограмметрические измерения

Так как измерения фотограмметрической модели сфотографиро­ванного объекта производят в прямоугольной системе координат при условии ортогонального проектирования точек на горизон­тальную координатную плоскость, положение точки М (рис. 129) сферической поверхности относительно точки N, через которую проведена плоскость Е, принятая за плоскость XY, будет опреде­лено фотограмметрическими координатами L и h. Фактически же расстояние между точками N и М равно длине дуги NM = D, а вы­соты этих точек равны. Следовательно, ошибка измерения рас­стояния NM будет равна величине D—L, а ошибка измерения вы­соты точки М — стрелке прогиба h.

Задавшись величиной δ_к смещения точки т в плоскости снимка Р из-за кривизны планеты, найдем максимально допусти­мую высоту фотографирования. Из прямоугольного треугольника NMN' имеем L² = h(2R—h). Из подобных треугольников m_onS и M₀NS найдем

а по аналогии с формулой смещения точки из-за рельефа

Подставив эти формулы в исходную, получим

Члены δ_к и f²δ²к можно опустить по малости. В результате фор­мула примет вид

Если принять δ_к = 0,01 мм при r= 100 мм, т. е. влияние кривизны планеты в пределах снимка практически отсутствует, то при фото­съемке Земли (R = 6371 км) и Луны (R = 1738 км) их высоты фо­тографирования не должны превышать следующих значений для разных величин фокусных расстояний:

Однако высоты фотографирования при космической фотосъемке зна­чительно превышают вышеуказан­ные значения. Например, фото­съемку Земли с орбиты спутника ведут с высот не ниже 200 км, а Луны — 100 км.

Получим формулы для расчета размера участка на поверхности планеты, в пределах которого замена сферической поверхности пло­скостью приводила бы к ошибкам в плановых и высотных координа­тах, не превышающих установлен­ные величины. Размер участка вы­разим через центральный угол φ (см. рис. 129), соответствующий диагонали участка. Обозначим до­пустимые ошибки в положении точки на карте масштаба 1 : М че­рез δ_{х, у} в плане и δ_z по высоте:

Разложим тригонометрические функции в ряд Тейлора с сохране­нием членов третьей степени для плановых координат и второй степени для высотных. После преобразований получим формулы для расчета размера участка при съемке контуров

и рельефа

Например, при δ_х,_у =0,3 мм, δ_z = 0,5 км, М=1 000000 размеры участков по диагонали не должны превышать φ_х, _у = 6,0° (667 км) и δ_z=l,4° (155 км) для Земли, а для Луны φ_x,_y = 9,2° (300 км) и φ_z = 2,7° (82 км).

При фотограмметрической обработке космических фотосним­ков, и прежде всего при их фототрансформировании необходимо учитывать, что из-за сферичности планеты у космического снимка отсутствует однозначность угла наклона. Как известно, угол нак­лона определяется величиной отклонения главного оптического луча от отвесной линии, а в разных точках сферической поверхности нормали (местные вертикали) непараллельны между собой и в результате снимок относительно разных местных вертикалей будет иметь разные углы наклона. Если по отношению к местной вертикали в точке N (см. рис. 129) снимок Р горизонтален, то по отношению к местным вертикалям в точках К и М он уже наклон­ный: углы α_к и α_м равны по величине, но имеют противоположные знаки. Таким образом, для одного космического снимка значение угла наклона может изменяться от нуля до десятков градусов со знаком плюс или минус. Следовательно, угол наклона космиче­ского снимка можно характеризовать только в общем по углу на­клона относительно отвесной линии, совпадающей с местной вер­тикалью в подспутниковой точке N.