1.5. Дифференциальное исчисление Для замечаний

-

1.5. Дифференциальное исчисление

1.5.1. Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и пусть x - некоторая точка этой окрестности. Если существует предел отношения при xx₀, то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x₀ и обозначается .

Итак, .

Обозначив x-x₀=x, y=f(x₀+x)-f(x₀)=f(x)-f(x₀),

получим .

Замечание 1. Условие непрерывности в принятых обозначениях можно записать в виде или . Это равенство называется разностной формой условия непрерывности функции в т. x₀.

Если для некоторого значения x₀ выполняется условие , то говорят, что для этого значения x₀ существует бесконечная производная, равная соответственно +, -, .

В дальнейшем под выражением “функция имеет производную” мы будем понимать наличие конечной производной, если не оговорено противное.

Если функция y=f(x) определена в правосторонней ( левосторонней) окрестности точки x₀ и существует конечный или бесконечный предел отношения , то он называется, соответственно, конечной или бесконечной производной справа (слева) функции y=f(x) в точке x=x₀ и обозначается .

Правая и левая производные называются односторонними производными.

Теорема. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки x=x₀ , имеет производную тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу, т.е. . В этом случае .

Доказательство теоремы следует из теоремы об односторонних пределах.

Операция вычисления производной от функции называется операцией дифференцирования.

1.5.2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y=f(x), определенной и непрерывной на некотором интервале (a,b). Точка M₀ на графике (см. рис.)

соответствует значению аргумента x0(a,b),а точка M- (x=x0+x(a,b)), где x - некоторое приращение аргумента. Прямая, проходящая через точки М0, М, называется секущей. Обозначим через (x) угол, который образует секущая М0М с положительным направлением оси Оx.

Определение. Касательной к графику функции y=f(x) в точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М при стремлении точки М к точке М₀ по графику (или при x0 вследствие непрерывности y=f(x)).

Очевидно, что .

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x=x₀, тогда справедливы следующие два утверждения:

1) график функции y=f(x) имеет касательную в точке М₀, соответствующей значению аргумента x₀;

2) угловой коэффициент касательной равен .

Доказательство.

Пусть x - любое, достаточно малое и отличное от нуля значение приращения аргумента x в точке x₀, тогда . Так как и функция u=arctgx непрерывна в любой точке

x(-,+), - , т.е. существует предельное значение (при x0) угла наклона секущей М₀М, что доказывает существование касательной в точке М₀.

Обозначим, далее, угол наклона касательной к оси Оx через ₀, тогда , откуда .

Уравнение касательной имеет вид:

,

Отсюда получаем уравнение нормали к графику

функции