1.1. Векторная алгебра Для замечаний

1.1.4. Уравнение линии на плоскости

Пусть на плоскости  заданы декартова прямоугольная система координат Oxy и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение, связывающее переменные x и y

(1.1)

Определение. Уравнение (1.1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты x и y ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.е. линия L представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.1).

Примеры. 1). Уравнение является уравнением окружности радиуса с центром в точке .

2). Уравнение определяет на плоскости Oxy только одну точку (0,0).

3). Уравнение вообще не определяет никакого геометрического образа.

1.1.4.1.Параметрическое представление линии

Для аналитического представления линии L возможно выражать координаты x и y точек этой линии при помощи параметра t :

, (2.1.)

где функции непрерывны по параметру t в области изменения этого параметра. Исключение из двух уравнений (2.1) параметра t приводит к уравнению вида (1.1).

Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса с центром в начале координат.

Пусть - любая точка этой окружности, а t - угол между радиусом-вектором и осью Ox, отсчитываемой против часовой стрелки. Тогда (2.2).

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения нашей окружности. Чтобы точка один раз обошла окружность, t должно изменяться в пределах: . Для исключения параметра t из уравнения (2.2), нужно возвести в квадрат и сложить уравнения (2.2); получим .

1.1.4.2.Уравнение линии в полярных координатах

Введем на плоскости полярные координаты. выберем на плоскости точку O (полюс) и выходящий из нее луч Ox; укажем единицу масштаба.

Полярными координатами точки M называются два числа: (полярный радиус) равное расстоянию точки M от полюса O и (полярный угол)- угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом OM. Точку M обозначают символом и обычно считают, что .

Если начало декартовой прямоугольной системы находится в полюсе, а ось абсцисс совпадает с полярной осью, то очевидна связь между полярными координатами точки и ее декартовыми координатами :

(3.1)

Возводя эти уравнения в квадрат и складывая их, получим . Разделив одно на другое, получим, что , а также используя знаки x и y, определим четверть, в которой находится точка M. Т.е., зная декартовы координаты точки x и y можно найти ее полярные координаты.

Если представляет собой уравнение линии L в декартовой прямоугольной системе координат Oxy, то достаточно подставить на место x и y их выражения в полярных координатах (3.1): получим , где использовали обозначение .

1.1.4.3. Пересечение двух линий

Задача о нахождении точек пересечения двух линий , заданных уравнениями , состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих каждому из этих уравнений.

Т.е. нужно решить систему уравнений

Если эта система не имеет решений, то линии не пересекаются.

Пример. Найти точки пересечения окружностей .

Решаем систему уравнений

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Отсюда найдем, что . Мы получили две точки пересечения .